Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Anillo de Polinomios»

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Línea 21:
 
{{Ejmpl|Ejemplo}}
Recordemos que un <i>cero</i> de una función polinómica <math>f</math> es un número <math>a</math> del dominio de la función tal que <math>f(a) = 0</math>. Consideremos la función polinómica <math>f</math> de <math>\Q</math> en <math>\Q</math> tal que <math>f(x) = x^2 - 2</math>. Observemos que un ``"cero''" de esa función es el número irracional <math>\sqrt{2}</math>, que no pertenece al dominio de la función.
 
El problema no es que la función tenga dominio los racionales y no todos los reales, ya que la función <math>f:\R \longrightarrow \R</math> tal que <math>f(x) = x^2 + 1</math> tampoco tiene ceros reales, aunque sí complejos.
Línea 29:
 
{{Ejmpl|Ejemplo}}
Consideremos el cuerpo <math>\mathbb{F}_3</math> (</math>=\Z_3</math>) y sean <math>f</math> y <math>g</math> funciones de <math>\mathbb{F}_3</math> en si mismo tales que <math>f(x) = x^3 + 2</math> y <math>g(x) = x+2</math>. La tabla siguiente muestra los valores de las funciones.
<center><math>\begin{array}{c|c|c}
x &f(x)&g(x) \\ \hline
Línea 96:
<center><math>(a_0, a_1, \ldots, a_n, 0, 0, \ldots).</math></center>
 
Esa es precisamente la vía que adoptaremos. Nuestros polinomios formales serán sucesiones de números o, en general, de elementos de un anillo, que se operan de acuerdo a las relaciones en las ecuaciones ({{Eqnref|16-1}}) y ({{Eqnref|16-2}}), y cuyos términos son todos nulos a partir de un cierto término en adelante.
 
== Las Definiciones Formales ==
Línea 116:
==== La multiplicación ====
 
Sean <math>f</math> y <math>g</math> dos sucesiones de <math>A^{\N}</math>. Definiremos el producto <math>fg</math> de esas sucesiones por una relación idéntica a aquella en la ecuación ({{Eqnref|16-2}}), es decir que
 
{{Eqn|<math>(fg)_n := \sum_{i+j=n} f_ig_j = f_0g_n + f_1g_{n-1} + \cdots + f_ng_0.</math>|16-4}}
Línea 124:
 
<b>Lema A.</b> <i>
La multiplicación definida en ({{Eqnref|16-4}}) es asociativa.</i>
<ul><i>
Demostración: </i> Sean <math>f</math>, <math>g</math> y <math>h</math> tres sucesiones de <math>\N</math> en <math>A</math>. Para todo <math>n</math> se cumple que
Línea 165:
Luego,
 
{{Eqn|<math>\varphi(a+b) = \widetilde{a+b} = \widetilde{a} + \widetilde{b} = \varphi(a) + \varphi(b).</math>|eqn100416-5}}
 
Veamos la situación con la multiplicación.
Línea 186:
<center><math>\widetilde{ab}_n = 0 = 0\cdot 0 = \widetilde{a}_n\widetilde{b}_n.</math></center>
Luego,
{{Eqn|<math>\varphi(ab) = \widetilde{(ab)} = \widetilde{a}\, \widetilde{b} = \varphi(a)\varphi(b).</math>|eqn100516-6}}
 
Las relaciones ({{Eqnref|eqn100416-5}}) y ({{Eqnref|eqn100516-6}}) nos dicen que la función <math>\varphi</math> es efectivamente un homomorfismo que además es inyectivo. Por lo tanto, <math>A</math> es isomorfo (como anillo) con su imagen. Usando ese monomorfismo, identificaremos los elementos de <math>A</math> con sus imágenes, por lo cual consideraremos a <math>A</math> como un subanillo de <math>A^{\N}</math>.
 
Veamos, ahora, que sucede cuando se multiplica un elemento de <math>A</math> por una sucesión cualquiera.