Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Anillo de Polinomios»
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Línea 59:
\end{array}</math></center>
-->
Aquí debe ir una figura
A la derecha, hemos mostrado el cómputo mediante coeficientes separados, donde se ve claramente que la suma consiste en sumar los coeficientes de los términos de igual grado de los sumandos. Notemos que la notación ascendente de los polinomios, permite alinear fácilmente los términos iniciales. Si llamamos <math>a_n</math> y <math>b_n</math> a los coeficientes de los términos de grado <math>n</math> de los sumandos, y si <math>c_n</math> es el coeficiente del término de grado <math>n</math> del resultado, tenemos que
Línea 110:
{{Eqn|<math>(f+g)_n := f_n+ g_n.</math>|16-3}}
Es decir que el término <math>n</math>--ésimo de la suma es la suma de
Notemos que la suma definida es la suma usual de sucesiones que corresponde a la suma de funciones definida punto a punto. Sabemos de trabajos anteriores que tal suma es asociativa, conmutativa, que tiene como neutro la función constante cero (para todo <math>n</math>, <math>f_n=0</math>), y que cada función <math>f</math> tiene un opuesto aditivo <math>-f</math> tal que <math>(-f)_n = -f_n</math>. Por lo que <math><A^{\N}, +></math> es un grupo abeliano.
Línea 123:
<b>Lema A.</b> <i>
La multiplicación definida en ({{Eqnref|16-4}}) es asociativa.</i>
<ul><i>
Línea 139:
<b>Lema B.</b> <i>
La multiplicación definida es distributiva. </i>
Línea 170:
<center>
<math>
\widetilde{(ab)}_{0} = \sum_{i+j = 0} \widetilde{a}_{i}\widetilde{b}_{j}
= \widetilde{a}_{0} \widetilde{b}_{0}
</math></center>
Línea 192:
Veamos, ahora, que sucede cuando se multiplica un elemento de <math>A</math> por una sucesión cualquiera.
<b>Lema C.</b> <i>Sean <math>a</math> en <math>A</math> y <math>f</math> en <math>A^{\N}</math>. Se cumple que <math>(af)_n = af_n</math>. (Es decir que cada término de la sucesión se multiplica por <math>a</math>)
</i>
<ul><i> Demostración: </i>
Línea 199:
{{QED}} </ul> <hr>
<b>Corolario
</i>
Todo el trabajo anterior muestra la siguiente proposición.
<b>Proposición 1. </b> <i>
El conjunto <math>A^{\N}</math> con las operaciones definidas arriba tiene la estructura de un anillo con identidad que contiene a <math>A</math> como subanillo. Cuando <math>A</math> es conmutativo, <math>A^{\N}</math> también lo es.
</i>
Línea 240:
Claramente, <math>X</math> es un polinomio.
<b>Proposición 2. </b> <i> Sea <math>X</math> la indeterminada, entonces
<ol type="a">
<li> <math>X^r_n = \delta_{r,n}</math>, es decir que <math>X^r</math> es la sucesión que tiene todos sus términos nulos, con la excepción del <math>r</math>--ésimo que es igual a 1.
Línea 265:
{{QED}} </ul> <hr>
<b>Proposición 3. </b> <i> El conjunto de los polinomios determina un subanillo con identidad de <math>A^{\N}</math> que será denotado por <math>\mathbf{A[X]}</math> y que diremos que se trata del <b>anillo de polinomios en una indeterminada con coeficientes en el anillo <math>\mathbf{A}</math></b>,
</i>
<ul><i>
Línea 282:
A continuación, veremos como recuperar la notación tradicional de polinomios.
<b>Proposición 4. </b> <i> Sea <math>f</math> una sucesión no nula con <math>f_{k}=0</math> para <math>k>m</math>, <math>m \ge 0</math>, o sea un polinomio. Sea <math>g = f_{0} + f_{1}X + f_2X^2 + \cdots + f_{m}X^m</math>. Entonces, <math>g=f</math>.
</i>
<ul><i>
Línea 348:
El grado, en el ejemplo anterior, es menor que la suma de los grados, ya que los coeficientes lideres de los factores eran divisores de cero. Cuando uno de ellos no es un divisor de cero, tenemos la igualdad.
<b>Proposición 5. </b> <i>
Sean <math>f</math> y <math>g</math> polinomios en <math>A[X]</math> tales que el coeficiente líder de al menos uno de esos polinomios no es un divisor de cero. Entonces,
<center><math> \text{gr}(fg) = \text{gr}(f) + \text{gr}(g).</math></center>
Línea 359:
{{QED}} </ul> <hr>
<b>Corolario
Cuando <math>A</math> es un dominio de integridad, entonces <math>A[X]</math> también lo es.
</i>
Línea 513:
Volviendo a la situación de la definición, tenemos para cada <math>\alpha</math> que es un elemento de <math>B</math>, una función que asigna a cada polinomio <math>f</math> de <math>A[X]</math> su evaluación en <math>\alpha</math>, <math>f(\alpha)</math>. Denotaremos esa función por <math>\rm{ev}_{\alpha}</math>. La siguiente proposición muestra que esa función es un homomorfismo de anillos.
<b>Proposición 6. </b> <i>
Sean <math>f</math> y <math>g</math> polinomios con coeficientes en <math>A</math>. Sea <math>\alpha</math>
un elemento de un superanillo <math>B</math> del anillo <math>A</math> y que permuta con los elementos de <math>A</math>. Entonces,
Línea 530:
<b>Proposición 7. (Extensión de Homomorfismos) </b> <i>
Sean <math>A</math> y <math>B</math> anillos conmutativos con identidad, y <math>\phi:A \longrightarrow B</math> un homomorfismo de anillos con identidad. Entonces, hay una función <math>\widetilde{\phi} :A[X] \longrightarrow B[X]</math>,
<center><math>\widetilde\phi(a_0 + a_1 X+ \dots +a^mX^m) := \phi(a_0) + \phi(a_1)X + \dots + \phi(a_m)X^m,</math></center>
Línea 553:
\widetilde{\phi}(f) \widetilde{\phi}(g) &=& \sum_{i+j} \phi(a_i)\phi(b_j) X^{i+j} =
\sum_{i+j} \phi(a_i b_j) X^{i+j} = \widetilde{\phi}(fg).
\end{array}</math>
</ul>
{{QED}} </ul> <hr>
Línea 561:
Sea <math>\nu:\Z\longrightarrow \Z_m</math> el supramorfismo canónico, <math>x \mapsto [x]</math>. Entonces, diremos que el polinomio <math>\widetilde{\nu}(f)</math> es el polinomio obtenido de <math>f</math> por <i>reducción módulo</i> <math>\mathbf{m}</math>.
{{Ejmpl|Ejemplo}}
La reducción de <math>f=X^3 + 3X^2 + 2X + 5</math> módulo 2 es igual a <math>g= X^3 + X^2 + 1</math>.
<hr>
Línea 622:
}}
{{Ejmpl|Ejemplo}}
<math>\sqrt{2}</math> es un entero algebraico, ya que es un cero de <math>X^2-2</math>.
<hr>
Línea 679:
Verificar que <math>F</math> es un anillo conmutativo con identidad. Probar que el polinomio <math>X^2-X</math> de <math>F[X]</math> tiene infinitos ceros.
</ol>
<!-- abc -->
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