Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Anillo de Polinomios»

 

<b>Funciones polinómicas.</b>

 

Volviendo a la situación de la definición, tenemos para cada <math>\alpha</math> que es un elemento de <math>B</math>, una función que asigna a cada polinomio <math>f</math> de <math>A[X]</math> su evaluación en <math>\alpha</math>, <math>f(\alpha)</math>. Denotaremos esa función por <math>\rm{ev}_{\alpha}</math>. La siguiente proposición muestra que esa función es un homomorfismo de anillos.

 

 

Sean <math>A</math> y <math>B</math> anillos conmutativos con identidad, y <math>\phi:A \longrightarrow B</math> un homomorfismo de anillos con identidad. Entonces, hay una función <math>\widetilde{\phi} :A[X] \longrightarrow B[X]</math>,

<center><math>\widetilde\phi(a_0 + a_1 X+ \dots +a^mX^m) := \phi(a_0) + \phi(a_1)X + \dots + \phi(a_m)X^m,</math></center>

\widetilde{\phi}(f) \widetilde{\phi}(g) &=& \sum_{i+j} \phi(a_i)\phi(b_j) X^{i+j} =

\sum_{i+j} \phi(a_i b_j) X^{i+j} = \widetilde{\phi}(fg).

</ul>

{{QED}} </ul> <hr>

 

 

Sea <math>\nu:\Z\longrightarrow \Z_m</math> el supramorfismo canónico, <math>x \mapsto [x]</math>. Entonces, diremos que el polinomio <math>\widetilde{\nu}(f)</math> es el polinomio obtenido de <math>f</math> por <i>reducción módulo</i> <math>\mathbf{m}</math>.

 

<hr>

 

 

Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con identidad y sea <math>B = A[X]</math>, <math>B</math> es un superanillo de <math>A</math> y cada uno de sus elementos permuta con los elementos de <math>A</math>. Por lo que podemos evaluar cada polinomio en <math>A[X]</math> en un elemento <math>b</math> de <math>B</math>, o sea en otro polinomio, digamos, <math>g</math> de <math>A[X]</math>. El resultado se dice que es la <b>sustitución de la indeterminada</b> o variable <math>X</math> por <math>g(X)</math>. \