Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Anillo de Polinomios»
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Línea 234:
Claramente, <math>X</math> es un polinomio.
<b>Proposición. </b> <i> Sea <math>X</math> la indeterminada, entonces
<ol type="a">
<li> <math>X^r_n = \delta_{r,n}</math>, es decir que <math>X^r</math> es la sucesión que tiene todos sus términos nulos, con la excepción del <math>r</math>--ésimo que es igual a 1.
Línea 259:
{{QED}} </ul> <hr>
<b>Proposición. </b> <i> El conjunto de los polinomios determina un subanillo con identidad de <math>A^{\N}</math> que será denotado por <math>\mathbf{A[X]}</math> y que diremos que se trata del <b>anillo de polinomios en una indeterminada con coeficientes en el anillo <math>\mathbf{A}</math></b>,
</i>
<ul><i>
Línea 276:
A continuación, veremos como recuperar la notación tradicional de polinomios.
<b>Proposición. </b> <i> Sea <math>f</math> una sucesión no nula con <math>f_{k}=0</math> para <math>k>m</math>, <math>m \ge 0</math>, o sea un polinomio. Sea <math>g = f_{0} + f_{1}X + f_2X^2 + \cdots + f_{m}X^m</math>. Entonces, <math>g=f</math>.
</i>
<ul><i>
Línea 343:
El grado, en el ejemplo anterior, es menor que la suma de los grados, ya que los coeficientes lideres de los factores eran divisores de cero. Cuando uno de ellos no es un divisor de cero, tenemos la igualdad.
<b>Proposición. </b> <i>
Sean <math>f</math> y <math>g</math> polinomios en <math>A[X]</math> tales que el coeficiente líder de al menos uno de esos polinomios no es un divisor de cero. Entonces,
<center><math> \text{gr}(fg) = \text{gr}(f) + \text{gr}(g).</math></center>
Línea 509:
Volviendo a la situación de la definición, tenemos para cada <math>\alpha</math> que es un elemento de <math>B</math>, una función que asigna a cada polinomio <math>f</math> de <math>A[X]</math> su evaluación en <math>\alpha</math>, <math>f(\alpha)</math>. Denotaremos esa función por <math>\rm{ev}_{\alpha}</math>. La siguiente proposición muestra que esa función es un homomorfismo de anillos.
<b>Proposición. </b> <i>
Sean <math>f</math> y <math>g</math> polinomios con coeficientes en <math>A</math>. Sea <math>\alpha</math>
un elemento de un superanillo <math>B</math> del anillo <math>A</math> y que permuta con los elementos de <math>A</math>. Entonces,
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