Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Anillo de Polinomios»

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Línea 102:
Sean <math>f</math> y <math>g</math> dos sucesiones de <math>A^{\N}</math>. La suma de esas sucesiones es la sucesión denotada por <math>f+g</math> y tal que
 
{{Eqn|<math>(f+g)_n := f_n+ g_n.</math>|eqn16-suma3}}
 
Es decir que el término <math>n</math>--ésimo de la suma es la suma de ls términos <math>n</math>--ésimos de los sumandos.
Línea 110:
==== La multiplicación ====
 
Sean <math>f</math> y <math>g</math> dos sucesiones de <math>A^{\N}</math>. Definiremos el producto <math>fg</math> de esas sucesiones por una relación idéntica a aquella en la ecuación (Eqnref|16-2}}), es decir que
 
{{Eqn|<math>(fg)_n := \sum_{i+j=n} f_ig_j = f_0g_n + f_1g_{n-1} + \cdots + f_ng_0.</math>|eqn100316-4}}
 
Nos interesa probar que <math><A^{\N}, + ,\cdot></math> es un anillo con identidad. Para eso, nos falta por probar que la multiplicación es asociativa, distributiva y que hay una función identidad para la multiplicación.
 
 
<b>Lema.</b> <i>
La multiplicación definida en ({{Eqnref|eqn100316-4}}) es asociativa.</i>
<ul><i>
Demostración: </i> Sean <math>f</math>, <math>g</math> y <math>h</math> tres sucesiones de <math>\N</math> en <math>A</math>. Para todo <math>n</math> se cumple que
Línea 145 ⟶ 146:
{{QED}} </ul> <hr>
 
==== <b>Identificación de <math>A</math> con un subanillo de <math>A^{\N}</math> ====</b>
 
Con cada <math>a</math> en <math>A</math>, asociaremos la función <math>\widetilde{a}</math> tal que <math>\widetilde{a}_{0} = a</math> y <math>\widetilde{a}_n=0</math> para todo <math>n>0</math>. Como sucesión, tenemos que <math>\widetilde{a} = (a,0,0,0, \ldots)</math>.
 
Sea <math>\varphi: A \longrightarrow A^{\N}</math> tal que <math>\varphi(a) = \widetilde{a}</math>.
Claramente, <math>\varphi</math> es una función inyectiva, Probaremos que es un homomorfismo de anillos.
 
Cuando <math>a</math> y <math>b</math> son elemento de <math>A</math> se cumple que
</math>\widetilde{(a+b)}_{0} = a+ b = \widetilde{a}_{0} + \widetilde{b}_{0},</math>
mientras que para <math>n>0</math>, tenemos que
</math>\widetilde{(a+b)}_n = 0 = 0 + 0 = \widetilde{a}_n + \widetilde{b}_n</math>.
Luego,
 
Línea 165 ⟶ 167:
Con <math>n > 0</math> se tiene que
<center><math>
\widetilde{ab}_n = \ds \sum_{i+j = n} \widetilde{a}_{i} \widetilde{b}_{j}
= \sum_{i+j=n, i=0} \widetilde{a}_{i}\widetilde{b}_{j} \quad + \sum_{i+j=n, i>0} \widetilde{a}_{i}\widetilde{b}_{j}.
</math></center>
Línea 411 ⟶ 413:
<li> ¿Cuántos polinomios distintos de segundo grado, de tercer grado, ... , de enésimo grado podemos formar sobre el cuerpo <math>\Z_5</math>?
 
<li> Sean <math> f = \ds \sum_{i \ge 0} X^i</math> y <math>g = \ds \sum_{i \ge 0} (-1)^iX^i</math> elementos de <math>\Z[[X]]</math>. Hallar <math>f+g</math>.
 
<li> Sean <math>f = \ds \sum_{i \ge 0} X^i</math> y <math>g = 1 - X</math> dos series en <math>\Q[[X]]</math>. Hallar el producto de <math>f</math> con <math>g</math>.
 
 
Línea 482 ⟶ 484:
 
</ol>
 
 
 
== La Evaluación de un Polinomio ==