Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Homomorfismos»
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Página creada con «<noinclude>{{En desarrollo}}</noinclude> == Introducción == Hemos visto en el capítulo anterior tres grupos de orden 4: C<sub>4,a</sub>, el grupo de Klein y el grupo de...» |
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Línea 90:
<hr>
{{PropRht|Composición de Homomorfismos|La composición de dos homomorfismos es un homomorfismo.}}
:''Demostración: '' Sean <math>f:G
<center><math>\begin{array}{rcl}
(g \circ f)(xy) &=& g(f(xy)) = g(f(x)f(y)) = g(f(x))g(f(y)) \\
Línea 189:
<ul>
''Demostración:'' Sean G=C_<sub>n,a</sub> y H = C_<sub>n,b.</sub> Definamos f:G en H por ''f(a<sup>k</sup>) = b<sup>k</sup>''. Se tiene entonces que
<center><math>f(a^ja^k) = f(a^{j+k})= b
Lo que prueba que f es un homomorfismo.
Claramente, f es suprayectiva. Supongamos que <math>f(a^k) = f(a^j)</math>. Esto implica que <math>e=b^kb^{-j} = f(a^k)f(a^{j})^{-1}</math>. {{QED}}
Línea 305:
<li> (Endomorfismos del grupo aditivo de los Racionales) \quad
<ol type="a">
<li> Sea <math>f:\Q \longrightarrow \Q</math> tal que <i>f(q) = aq</i>, donde <i>a</i> es un número racional fijo. Probar que <i>f</i> es un endomorfismo del grupo aditivo de los racionales, que es un automorfismo cuando <
<li> Sea <math>\varphi: \Q \longrightarrow \Q</math> un endomorfismo del grupo aditivo de los Raciones. Probar que <math>\varphi(q) = aq</math>, donde <math>a = \varphi(1)</math>.
</ol>
Línea 320:
<td width=35%> <math>\Z_2 \longrightarrow \Z_4</math>.
<td width = 5 %> b.
<td width = 35 %><math>\Z_2 \longrightarrow \Z_5. </math>
</tr>
Línea 332:
<tr>
<td width = 5 %> e.
<td width=55%> <math>\Z \longrightarrow S_3
<td width = 5 %> f.
<td width = 55 %><math>\Z \longrightarrow D_8
</tr>
<tr>
<td width = 5 %> g.
<td width=35%> <math>Z \times Z \longrightarrow 2\Z
<td width = 5 %> h.
<td width = 35 %><math>2\Z \longrightarrow \Z \times \Z
</tr>
<tr>
<td width = 5 %> i.
<td width=35%> <math>S_3 \longrightarrow S_4
<td width = 5 %> j.
<td width = 35 %><math>C_{25} \longrightarrow C_{30}
</tr>
</table>
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