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== Ejercicios del Capítulo ==
<ol>
<li> Sea <math>G = \{a,b: a^4 = b^2 = e,\quad b ab^{-1} = a^3
\}.</math>.
Probar las siguientes afirmaciones.
<ol type="a">
<li> <math>ba = a^3b</math>.
<li> Todos los elementos de <math>G</math> son de la forma <math>a^{i}b^j</math>, <math>0 \le i \le 3</math> y <math>j=0,1</math>. Concluir que el orden de <math>G</math> es 8.
<li> El orden <math>a^kb</math> es 2, para cualquier valor de <math>k</math>.
<li> Determinar todos los subgrupos (hay ocho propios) de <math>G</math>. Indicar cuántos de ellos son cíclicos.
</ol>
<li> Sea <math>G</math> un grupo cuyo orden es <math>p^r</math>, <math>p</math> primo, <math>r \ge 1</math>. Probar que <math>G</math> tiene un elemento de orden <math>p</math>. (Sugerencia: probar las siguientes afirmaciones.)
<ol type="a">
<li> Si <math>G</math> es cíclico entonces <math>G</math> tiene un elemento de orden <math>p</math>.
<li> Si <math>G</math> es abeliano entonces <math>G</math> contiene un elemento de orden <math>p</math>. (Considerar cualquiera de sus subgrupos cíclicos).
<li> Si <math>G</math> no es abeliano, probar que su centro tiene un orden divisible por <math>p</math>, por lo que contiene un elemento de orden <math>p</math>.
(Usar la \textit{ecuación de clases}).
</ol>
<li> Sea <math>G</math> un grupo cuyos únicos subgrupos son los triviales: <math>G</math> y <math>\{e\}</math>. Probar que <math>G</math> es finito y su orden es un número primo.
<li> Sea <math>GL_2(\Z_2)</math> todas las matrices invertibles con entradas que son elementos de <math>\Z_2</math>. Hallar todas las matrices de ese conjunto y verificar que determinan un grupo. Hallar un grupo conocido isomorfo a ese grupo.
<li> Sea <math>G</math> un grupo de orden par. Probar que si un elemento <math>a</math> de <math>G</math> aparece en la diagonal principal de la tabla, lo hace una cantidad par de veces.
<li> Sea <math>G</math> un grupo de orden <math>2s</math> con <math>s</math> impar. Probar que <math>G</math> tiene exactamente un elemento de orden 2, Además que el producto de todos los elementos del grupo es precisamente ese elemento de orden 2.
<li> Sean <math>H</math>, <math>J</math>, <math>K</math> y <math>L</math> subgrupos normales de un grupo <math>G</math>. Probar las siguientes afirmaciones.
<ol type="a">
<li> Si <math>H \triangleleft J</math> y <math>K \triangleleft L</math> entonces <math>H \cap K \triangleleft J \cap L</math>,
</ol>
<li> Clasificar los grupos de orden 14.
<li> Clasificar los grupos de orden 21.
<li> La siguiente afirmación es una proposición de la teoría de números enteros que se pueden probar aplicando la teoría de grupos a los grupos <math>\Z_n</math> o <math>\Z_n^*</math>, para un <math>n</math> adecuado.
{\em (Wilson) Si <math>p</math> es un primo, <math>(p-1)! \cong -1 \pmod{p}</math>}.
<li> Sea <math>G</math> un grupo de orden <math>pm</math>, donde <math>p</math> es primo, <math>p >m</math>. Probar que <math>G</math> tiene un subgrupo normal de orden <math>p</math>. (Usar el resultado del teorema de Cauchy.)
<li> Sea <math>G=SL_2(\Z_3)</math> el grupo multiplicativo de matrices <math>2 \times 2</math> invertibles con entradas en <math>\Z_3</math> y cuyo determinante es igual a 1.
<ol type="a">
<li> Probar que <math>G</math> tiene 24 elementos.
<li> Probar que <math>-I = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}</math> está en el centro del grupo <math>G</math>.
<li> Hallar todos los <math>A</math> en <math>G</math> tales que <math>[A]</math> tiene orden 2 en <math>\overline{G} = G/ <-I></math>????.
<li> Hallar el centro de <math>G</math>.
<li> Probar que <math>\overline{G}</math> es isomorfo al grupo alternante <math>A_4</math>,
<li> Sea <math>Q</math> el grupo generado por <math>\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}</math> y <math>\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}</math>.
Probar que <math>Q</math> es isomorfo al grupo de cuaterniones (ver página~\pageref{exCuaternion}) y que hay un subgrupo de orden 3, <math>M</math>, tal que <math>G = Q \vee M</math>.
</ol>
<li> Sea <math>G</math> un grupo y sea <math>\mathcal{D}(G)</math> el subgrupo de los conmutadores, que es el subgrupo generado por los \textit{conmutadores} de <math>G</math>, o sea, los elementos de la forma <math>xyx^{-1}y^{-1}</math>. Probar o hacer lo indicado.
<ol type="a">
<li> <math>G/\mathcal{D}(G)</math> es un grupo abeliano.
<li> Si <math>N \triangleleft G</math> y <math>G/N</math> es abeliano, entonces <math>N</math> contiene a <math>\mathcal{D}(G)</math>.
<li> Hallar el grupo de conmutadores de <math>D_8</math>, <math>Q_8</math> y <math>A_4</math>.
</ol>
<li> Sea <math>G</math> un grupo de orden <math>2p</math> donde <math>p</math> es un primo impar. Probar que <math>G</math> es el grupo cíclico <math>C_{2p}</math> o el grupo dihedral <math>D_{2p}</math>.
<li> Clasificar cada una de las siguientes afirmaciones como válidas o falsas. Cuando sea válida dar una explicación o demostración de su validez. En caso contrario, proveer un contraejemplo.
<ol type="a">
<li> Todo grupo <math>G</math> contiene un subgrupo propio cíclico.
<li> Cuando el conjunto de generadores de un grupo es finito, entonces el grupo es finito.
<li> Si el orden de <math>G</math> es <math>n</math>, para todo divisor <math>d</math> de <math>G</math>, hay un elemento de <math>G</math> de orden <math>d</math>.
<li> Si el orden de <math>G</math> es <math>n</math>, para todo divisor primo <math>p</math> de <math>G</math>, hay un elemento de <math>G</math> de orden <math>p</math>.
<li> En un grupo <math>G</math> de orden <math>n</math>, todos los elementos no nulo tienen orden <math>n</math>.
<li> Hay grupos de orden <math>n</math>, donde para todo <math>x</math> en <math>G</math> se cumple que <math>x^m = e</math>, para un entero positivo <math>m < n</math>.
<li> La imagen homomórfica de un grupo cíclico es un grupo cíclico.
<li> La imagen homomórfica de un grupo infinito es siempre un grupo infinito.
<li> Un subgrupo <math>H</math> es normal, ssi, coincide con todos sus conjugados.
<li> Un grupo de orden 121 contiene un elemento de orden 11.
<li> Un grupo de orden 100 tiene un subgrupo de orden 4, pero no un subgrupo de orden 8.
<li> Un subgrupo de orden 256 contiene un subgrupo de orden 16.
</ol>
<li> (Variación del Teorema de Noether) Sea <math>f:G \longrightarrow H</math> un homomorfismo de grupos. Sean <math>\nu: G \longrightarrow K</math>, <math>K= \ker(f)</math>, la suprayección canónica, <math>\bar{f}: G/K \longrightarrow f(G)</math> tal que <math>\overline{f}([x])=f(x)</math>, y <math>\imath: f(G) \longrightarrow H</math> la función definida por la inclusión. <math>f</math> se puede factorizar como <math>f = \imath \circ \bar{f} \circ \nu</math>.
<ol type="a">
<li> Verificar que <math>f</math> se puede factorizar como <math>f = \imath \circ \bar{f} \circ \nu</math>. Comparar esa factorización con factorización indicada en la proposición \ref{teodescomp} del apéndice \ref{chFunciones}.
<li> Probar que las funciones en la factorización son homomorfismos de grupos.
</ol>
<li> Sea <math><M,e></math> un monoide. Sea <math>N</math> un submonoide de <math>M</math> (o sea un subconjunto cerrado de <math>M</math> que contiene al neutro).
<ol type="a">
<li> Definir clases laterales <math>xN</math> e <math>Ny</math>. Probar que la relación <math>x \sim y</math>, ssi, <math>xN = yN</math> es un relación de equivalencia en <math>M</math>. Denotaremos por <math>M/N</math> al conjunto formado por todas las clases de equivalencia.
<li> Suponer que <math>N < M</math> es tal que para todo <math>x</math> en <math>M</math>, <math>xN=Nx</math>. Probar que <math>xN\, yN := (xy)N</math> es una operación bien definida en <math>M/N</math> que provee a <math>M/N</math> con una estructura de monoide tal que la función <math>x \mapsto [x]</math> de <math>M</math> en <math>M/N</math> es un homomorfismo suprayectivo de monoides.
<li> Enunciar un teorema análogo al teorema de Noether para los homomorfismo de monoides.
</ol>
</ol>
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