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Diferencia entre revisiones de «Cursos/E M T/1º Deporte - Matemáticas/Unidad 4»

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Línea 1:
== Ejercicios del Capítulo ==
 
<ol>
== Grupos definidos por Generadores ==
<li> Sea <math>G = \{a,b: a^4 = b^2 = e,\quad b ab^{-1} = a^3
[[w:Teoría geométrica de grupos|Teoría Geometríca de Grupos]]
\}.</math>.
[[http://www.fisicafundamental.net/simetrias/grupos.html|Física y teoría de grupos]]
Probar las siguientes afirmaciones.
<ol type="a">
<li> <math>ba = a^3b</math>.
<li> Todos los elementos de <math>G</math> son de la forma <math>a^{i}b^j</math>, <math>0 \le i \le 3</math> y <math>j=0,1</math>. Concluir que el orden de <math>G</math> es 8.
<li> El orden <math>a^kb</math> es 2, para cualquier valor de <math>k</math>.
<li> Determinar todos los subgrupos (hay ocho propios) de <math>G</math>. Indicar cuántos de ellos son cíclicos.
</ol>
 
<li> Sea <math>G</math> un grupo cuyo orden es <math>p^r</math>, <math>p</math> primo, <math>r \ge 1</math>. Probar que <math>G</math> tiene un elemento de orden <math>p</math>. (Sugerencia: probar las siguientes afirmaciones.)
{|class="wikitable" border="1" style="text-align:center; margin:0 auto .5em auto;"
<ol type="a">
|-
<li> Si <math>G</math> es cíclico entonces <math>G</math> tiene un elemento de orden <math>p</math>.
| [[Archivo:group D8 id.svg|140px]] <br /> id (se mantiene tal y como está) || [[Archivo:group D8 90.svg|140px]] <br /> r<sub>1</sub> (rotación de 90° a la derecha) || [[Archivo:group D8 180.svg|140px]] <br /> r<sub>2</sub> (rotación de 180° a la derecha) || [[Archivo:group D8 270.svg|140px]] <br /> r<sub>3</sub> (rotación de 270° a la derecha)
<li> Si <math>G</math> es abeliano entonces <math>G</math> contiene un elemento de orden <math>p</math>. (Considerar cualquiera de sus subgrupos cíclicos).
|-
<li> Si <math>G</math> no es abeliano, probar que su centro tiene un orden divisible por <math>p</math>, por lo que contiene un elemento de orden <math>p</math>.
| [[Archivo:group D8 fv.svg|140px]] <br /> f<sub>v</sub> (vuelta vertical) || [[Archivo:group D8 fh.svg|140px]] <br /> f<sub>h</sub> (vuelta horizontal)|| [[Archivo:group D8 f13.svg|140px]] <br /> f<sub>d</sub> (vuelta diagonal) || [[Archivo:group D8 f24.svg|140px]] <br /> f<sub>c</sub> (vuelta contra diagonal)
(Usar la \textit{ecuación de clases}).
|-
</ol>
|style="text-align:left" colspan=4 | Los elementos del grupo de simetría del cuadrado (D<sub>4</sub>). Los vértices se pintan y se numeran sólo para visualizar las operaciones.
|}
 
<li> Sea <math>G</math> un grupo cuyos únicos subgrupos son los triviales: <math>G</math> y <math>\{e\}</math>. Probar que <math>G</math> es finito y su orden es un número primo.
* La operación identidad que lo deja todo como estaba, se expresa como ''id''.
* Rotaciones del cuadrado de 90°, 180 ° y 270 ° a la derecha, expresadas con ''r<sub>1</sub>, r<sub>2</sub> y r<sub>3</sub>'', respectivamente.
* Reflexiones respecto a los ejes vertical y horizontal (f<sub>v</sub> y f<sub>h</sub>), o respecto de las dos diagonales (f<sub>d</sub> y f<sub>c</sub>).
 
<li> Sea <math>GL_2(\Z_2)</math> todas las matrices invertibles con entradas que son elementos de <math>\Z_2</math>. Hallar todas las matrices de ese conjunto y verificar que determinan un grupo. Hallar un grupo conocido isomorfo a ese grupo.
Un grupo puede definirse mediante generadores sujeto a restricciones (relaciones entre los generadores), lo que se representa como
<center><math> G = \langle a,b,c | r_1(a,b,...), r_2(a,b,.. ), ... \rangle </math></center>
que leemos como que "G es el grupo generado por <i>a,b,c, </i> que satisfacen las restricciones <i>r_1(a,b,...), r_2 (a,b,.. ) ..."</i>
 
<li> Sea <math>G</math> un grupo de orden par. Probar que si un elemento <math>a</math> de <math>G</math> aparece en la diagonal principal de la tabla, lo hace una cantidad par de veces.
Formalmente, lo anterior significa que el conjunto <i>G</i> consiste de productos formales de expresiones
{{Eqn|<math>a^ib^jc^k \cdots \quad \text{ tales que } 0 \le i,j,k, ...</math>}}
Los generadores se consideran las letras de un alfabeto que generan palabras. La potencia de una letra, significaa la repetición de esa letra como indicada en el exponente. Cuando el exponente es nulo, se lo considera que es la palabra vacía. La operación es la concatenación de palabras, esto es pegarlas juntas, que es claramente asociativa y tiene como neutro a la palabra vacía (sin letras). El largo de una palabra es la cantidad de letras de la palabra.
 
<li> Sea <math>G</math> un grupo de orden <math>2s</math> con <math>s</math> impar. Probar que <math>G</math> tiene exactamente un elemento de orden 2, Además que el producto de todos los elementos del grupo es precisamente ese elemento de orden 2.
 
<li> Sean <math>H</math>, <math>J</math>, <math>K</math> y <math>L</math> subgrupos normales de un grupo <math>G</math>. Probar las siguientes afirmaciones.
Mayores detalles en el apéndice XXX.
<ol type="a">
<li> Si <math>H \triangleleft J</math> y <math>K \triangleleft L</math> entonces <math>H \cap K \triangleleft J \cap L</math>,
</ol>
 
{{Ejmpl| Ejemplo (Grupo Cíclico Finito)}}
Sea <math>\textsf{C}_{n,a} := \langle a | a^n =e \rangle.</math> donde <i>n</i> es un natural positivo. Los elementos de C<sub>n,a</sub> son palabras consistentes de solamente de aés, es decir potencias de <i>a</i>. La restricción consiste en que consideramos que <i>n</i> de esas letras son igual a la palabra vacía. (Podemos decir que si hay n letras aes juntas, las podemos borrar.
Además suponemos que tal <i>n</i> es el menor positivo con esa propiedad.
Consideremos a C<sub>3,a</sub>, sus elementos son <i>e, a, a<sup>2</sup></i>. Operamos con ellos siguiendo las leyes de potencias. Por ejemplo,
{{Eqn|<math>a^2a^2 =a^4 = a^3a=ea=a</math>}}
 
<li> Clasificar los grupos de orden 14.
En general, tenemos que
{{Eqn|<math> C_{n,a}> = \{e, a, \dots, a^{n-1}\}.</math>}}
En efecto, si tenemos un entero no negativo cualquiera <i>m</i>, por división por <i>n</i>, obtenemos <i>q</i>, <i>r</i> tales que <i>m=qn+r</i> con <math>0 \le r <n</math>. Luego,
{{Eqn|<math> a^m = a^{qn+r} =(a^n)^q a^r =e^qa^r = a^r.</math>}}
Por lo tanto, los únicos elementos posibles son los <math>a^r</math> con <math>0\le r <n </math>.
Se verifica fácilmente que tales elementos son todos diferentes., ya que si <i>0\le s <r </i> son tales que <i>a^=a^s</i>, se tiene que <i>a^{r-s}=e</i>, lo que es imposibloe por que <i>r-s <n</i>, y <i>n</i> era el mentor entero positivo cono esa propiedad.
 
<li> Clasificar los grupos de orden 21.
Notemos que tenemos que <math>a^r a^{n-r} = a^n= e</math>. Es decir que el inverso de a<sup>r</sup> es a <sup>n-r</sup>. Por lo que <math>C_{n,a}</math> es un grupo llamado <em>grupo cíclico de orden n</em>.
<hr>
 
<li> La siguiente afirmación es una proposición de la teoría de números enteros que se pueden probar aplicando la teoría de grupos a los grupos <math>\Z_n</math> o <math>\Z_n^*</math>, para un <math>n</math> adecuado.
{{Ejmpl|Ejemplo (Grupos Diedrales)
Llamamos grupo diedral de orden 2n, <i>n \ge 3</i> al grupo denotado por <i>D_{2n}</i> y definido como
{{Eqn|<math>\textsf{D}_{2n} := \langle a,b : a^n = e, b^2 = e, bab = a^{n-1}\rangle.</math>}}
 
{\em (Wilson) Si <math>p</math> es un primo, <math>(p-1)! \cong -1 \pmod{p}</math>}.
Notemos que los elementos de <i>D_{2n</i> son productos de expresiones de la forma <math>a^ib^j</math> con <i>0 \le i,j</i>. La tercera restricción nos dice que el grupo no es conmutativo, pero indica que podemos rearreglar las letras de modo que las aes estén delantes de las bes.
 
<li> Sea <math>G</math> un grupo de orden <math>pm</math>, donde <math>p</math> es primo, <math>p >m</math>. Probar que <math>G</math> tiene un subgrupo normal de orden <math>p</math>. (Usar el resultado del teorema de Cauchy.)
Supongamos que <i>n = 3</i>, entonces <i>bab=a^2</i> implica que <i>ba = a^2b</i>. Por lo que
<ul>
<li> <i>aba = a a^2b = b.</i> <li> <i>aababaab = aa(ba)baab = aaa^2bbaab =a^4b^2aab =aaab = b</i>.
</ul>
Es decir, que los elementos de <i>D_{2n</i> son los productos de la forma <math>a^ib^j</math> con <i>0 \le i<n,\quad j=0,1</i>. Es decir que
{{Eqn|<math> D_{2n} = \{e,a, ... , a^{n_1}, b, ab, ..., a^{n-1}\}.</math>,}}\
o sea que tiene 2n elementos. Ademas, como
{{Eqn|<math> a^i b^j b^{2-j} a^{n-i} = a^i b^2 a^{n-1} = a^ia^{n-1} = e</math>}}
Cada elementos es invertible. Es decir que <i>D_{2n}</i> es un grupo.
 
<li> Sea <math>G=\SL_2(\Z_3)</math> el grupo multiplicativo de matrices <math>2 \times 2</math> invertibles con entradas en <math>\Z_3</math> y cuyo determinante es igual a 1.
Los grupos diedrales provienen de las simetrías de un polígono regular de n lados. *Congruencias que dejan fijo globalmente al polígono). Detalles al respecto, están en el apéndice XXX.
<ol type="a">
<hr>
<li> Probar que <math>G</math> tiene 24 elementos.
<li> Probar que <math>-I = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}</math> está en el centro del grupo <math>G</math>.
<li> Hallar todos los <math>A</math> en <math>G</math> tales que <math>[A]</math> tiene orden 2 en <math>\overline{G} = G/ <-I></math>????.
<li> Hallar el centro de <math>G</math>.
<li> Probar que <math>\overline{G}</math> es isomorfo al grupo alternante <math>A_4</math>,
<li> Sea <math>Q</math> el grupo generado por <math>\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}</math> y <math>\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}</math>.
Probar que <math>Q</math> es isomorfo al grupo de cuaterniones (ver página~\pageref{exCuaternion}) y que hay un subgrupo de orden 3, <math>M</math>, tal que <math>G = Q \vee M</math>.
</ol>
 
<li> Sea <math>G</math> un grupo y sea <math>\mathcal{D}(G)</math> el subgrupo de los conmutadores, que es el subgrupo generado por los \textit{conmutadores} de <math>G</math>, o sea, los elementos de la forma <math>xyx^{-1}y^{-1}</math>. Probar o hacer lo indicado.
<ol type="a">
<li> <math>G/\mathcal{D}(G)</math> es un grupo abeliano.
<li> Si <math>N \triangleleft G</math> y <math>G/N</math> es abeliano, entonces <math>N</math> contiene a <math>\mathcal{D}(G)</math>.
<li> Hallar el grupo de conmutadores de <math>D_8</math>, <math>Q_8</math> y <math>A_4</math>.
</ol>
 
 
<li> Sea <math>G</math> un grupo de orden <math>2p</math> donde <math>p</math> es un primo impar. Probar que <math>G</math> es el grupo cíclico <math>C_{2p}</math> o el grupo dihedral <math>D_{2p}</math>.
 
<li> Clasificar cada una de las siguientes afirmaciones como válidas o falsas. Cuando sea válida dar una explicación o demostración de su validez. En caso contrario, proveer un contraejemplo.
 
<ol type="a">
<li> Todo grupo <math>G</math> contiene un subgrupo propio cíclico.
 
<li> Cuando el conjunto de generadores de un grupo es finito, entonces el grupo es finito.
 
<li> Si el orden de <math>G</math> es <math>n</math>, para todo divisor <math>d</math> de <math>G</math>, hay un elemento de <math>G</math> de orden <math>d</math>.
 
<li> Si el orden de <math>G</math> es <math>n</math>, para todo divisor primo <math>p</math> de <math>G</math>, hay un elemento de <math>G</math> de orden <math>p</math>.
 
 
<li> En un grupo <math>G</math> de orden <math>n</math>, todos los elementos no nulo tienen orden <math>n</math>.
 
<li> Hay grupos de orden <math>n</math>, donde para todo <math>x</math> en <math>G</math> se cumple que <math>x^m = e</math>, para un entero positivo <math>m < n</math>.
 
<li> La imagen homomórfica de un grupo cíclico es un grupo cíclico.
 
<li> La imagen homomórfica de un grupo infinito es siempre un grupo infinito.
 
 
<li> Un subgrupo <math>H</math> es normal, ssi, coincide con todos sus conjugados.
 
<li> Un grupo de orden 121 contiene un elemento de orden 11.
 
<li> Un grupo de orden 100 tiene un subgrupo de orden 4, pero no un subgrupo de orden 8.
 
<li> Un subgrupo de orden 256 contiene un subgrupo de orden 16.
 
</ol>
<li> (Variación del Teorema de Noether) Sea <math>f:G \longrightarrow H</math> un homomorfismo de grupos. Sean <math>\nu: G \longrightarrow K</math>, <math>K= \ker(f)</math>, la suprayección canónica, <math>\bar{f}: G/K \longrightarrow f(G)</math> tal que <math>\overline{f}([x])=f(x)</math>, y <math>\imath: f(G) \longrightarrow H</math> la función definida por la inclusión. <math>f</math> se puede factorizar como <math>f = \imath \circ \bar{f} \circ \nu</math>.
<ol type="a">
<li> Verificar que <math>f</math> se puede factorizar como <math>f = \imath \circ \bar{f} \circ \nu</math>. Comparar esa factorización con factorización indicada en la proposición \ref{teodescomp} del apéndice \ref{chFunciones}.
<li> Probar que las funciones en la factorización son homomorfismos de grupos.
</ol>
 
<li> Sea <math><M,e></math> un monoide. Sea <math>N</math> un submonoide de <math>M</math> (o sea un subconjunto cerrado de <math>M</math> que contiene al neutro).
<ol type="a">
<li> Definir clases laterales <math>xN</math> e <math>Ny</math>. Probar que la relación <math>x \sim y</math>, ssi, <math>xN = yN</math> es un relación de equivalencia en <math>M</math>. Denotaremos por <math>M/N</math> al conjunto formado por todas las clases de equivalencia.
<li> Suponer que <math>N < M</math> es tal que para todo <math>x</math> en <math>M</math>, <math>xN=Nx</math>. Probar que <math>xN\, yN := (xy)N</math> es una operación bien definida en <math>M/N</math> que provee a <math>M/N</math> con una estructura de monoide tal que la función <math>x \mapsto [x]</math> de <math>M</math> en <math>M/N</math> es un homomorfismo suprayectivo de monoides.
<li> Enunciar un teorema análogo al teorema de Noether para los homomorfismo de monoides.
</ol>
</ol>
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