Diferencia entre revisiones de «Cursos/E M T/1º Deporte - Matemáticas/Unidad 4»
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=== El Producto Directo de Grupos y Subgrupos ===
Sean <i>G,H,K</i> grupos tales que <i>G = H x K</i> con la estructura canónica de operación por componentes. Sean <math>\pi_H : G \rightarrow H</math> y <math>\pi_K: G \rightarrow K</math> tales que <math>\pi_H(x,y) = x</math> y <math>\pi_K(x,y) = y</math>. Tales funciones son las proyecciones sobre las componentes y, claramente, ambas son supramorfismos de grupos.
Sean <math>\overline{K} = \ker(\pi_H)</math> y <math>\overline{H} = \ker(\pi_K)</math>.
Notemos que <math>(x,y) \in \overline{K}</math>, ssi, <math>x=e_H</math>. Análogamente, <math>(x,y) \in \overline{H}</math>, ssi, <math>y = e_k</math>.
La función <math>i_H:H \rightarrow \overline{H}::h \mapsto (h,e_K)</math> es claramente un isomorfismo, lo mismo que <math>i_K: K \rightarrow \overline{K}::k \rightarrow (e_H, k)</math>.
Notemos, además que <math>(x,y) \in \overline{H} \cap \overline{K}</math>, ssi, <math>x=e_H</math> y <math>y = e_K</math>.
Identificando <i>H</i> con <math>\overline{H}</math> y <i>K</i> con <math>\overline{K}</math>, tenemos la siguiente proposición.
{{PropRht|Estructura del Producto Directo| Sea <math>G = H x K</math>. Entonces, G es producto de dos grupos que son isomorfos a subgrupos normales de G que tienen en común solamente al elemento neutro.}}
Veremos como la situación anterior aplica al producto interno de subgrupos normales.
<b>Proposición.(Producto Interno de Subgrupos Normales)</b>
<i>Sean <i>H</i> y <i>K</i> subgrupos normales de un grupo <i>G</i> tales que <i>G</i> es generado por <i>H</i> y <i>K</i> (o sea que <i>G = <H,K></i>), y la intersección de <i>H</i> con <i>K </i> es el subgrupo trivial {e}. Entonces,
<ol type = "a">
<li> Cada elemento de <i>G</i> puede escribirse de una única manera como <i>hk</i> con <i>h</i> en <i>H</i> y <i>k</i> en <i>K</i>.
<li> <math>G = HK \cong H \times K</math>. Es decir que <i>G</i> es el producto interno de <i>H</i> y <i>K</i>.
</ol><i>
:<i>Demostración: </i>Sigue de la proposición anterior, que <i>HK</i> es el subgrupo de <i>G</i> generado por <i>H</i> y <i>K</i>, por lo que coincide con <i>G</i>. Igualmente la condición de intersección implica la unicidad de la representación como producto de cada elemento de <i>G</i>. Tales resultados solo necesitan la normalidad de uno de los subgrupos. Cuando ambos son normales, tenemos, además que para todo <i>h</i> en <i>H</i> y <i>k</i> en <i>K</i> que
{{Eqn|<math>hk = kh.</math>|*}}
:En efecto, sea <i>z = hk(kh)<sup>-1</sup>=hkh<sup>-1</sup>k<sup>-1</sup></i>. Como <i>z=h(kh<sup>-1</sup>k<sup>-1</sup> = hh'</i> con <i>h' en <i>H</i>, ya que <i>H \lhd G</i>. Luego, <i>z</i> está en <i>H</i>. Pero, tenemos también que <i>z = (hkh<sup>-1</sup>)k<sup>-1</sup>=k'k<sup>-1</sup></i> con <i>k'</i> en <i>K</i>, por lo que <i>z</i> está en <i>K</i>. Como el único elemento común a <i>H</i> y <i>K</i>, concluimos que <i>z=e</i>, pero como <i>hk(kh)<sup>-1</sup>= e <--> hk = kh</i>, concluimos que {{Eqnref|*}} es válida.
:Sea <i>f: H x K --> HK= G</i> tal que <i>f(h,k) = hk</i>. Entonces.
{{Eqn|<math>f((h,k)(h',k')) = f(hh', kk') = hh'kk'= hkh'k'= f(h,k)f(h',k'), </math>}}
:por lo que <i>f</i> es un homomorfismo. Por la parte a) tenemos que <i>f</i> es suprayectivo. Por la unicidad de la escritura del producto, <i>hk =e</i>, ssi, <i>h=e=e_H</i> y <i>k=e=e_K</i>. Por lo que <i>f</i> es un isomorfismo. {{QED}}
<hr>
{{Ejmpl|Corolario}}
<i>Sea <math>G \cong H \times K</math> donde <i>H</i> y <i>K</i> son subgrupos normales de <i>G</i>. Entonces, <br /> <math>G/H \cong K</math> y <math>G/K \cong H</math>. </i>
:<i>Demostración: </i> Sigue de las discusiones anteriores. {{QED}}
<hr>
{{Ejmpl|Observación}}
En la sección \ref{secProdInterno} vimos condiciones necesarias y suficientes para que un grupo fuera producto interno de dos de sus subgrupos. En esa proposición se requería que los elementos de <i>H</i> conmutaran con los elementos de <i>K</i> ; dicha exigencia se reemplazo en la proposición por la normalidad de los subgrupos. En la demostración anterior, no invocamos la proposición citada. Si se invocará, la demostración se simplificarla. Queda al cuidado del lector hacerlo.
<hr>
{{Ejmpl|Ejemplo}}
Sea <i>G = S<sub>3</sub> = <a,b: a<sup>3</sup>=b<sup>2</sup>=e, bab<sup>-1</sup> = a<sup>2</sup>></i> y sean <i>H = <nowiki><a></nowiki></i>, <i>K = <nowiki><b></nowiki></i>.
Claramente, <i>G = HK</i>, pero <math>G \ncong H \times K</math>, ya que implicaría que sería cíclico. Notemos que <i>K </i> no es normal en <i>G</i>.<hr>
=== La función <math>~\varphi</math> de Euler ===
Recordemos que <math>\varphi(n)</math> es la cantidad de enteros positivos menores o iguales que <i>n</i> que son relativamente primos con <i>n</i>. Sabemos que las clases de congruencia de esos números determinan el grupo multiplicativo <math>\Z_n^*</math>. En esta sección, probaremos un resultado que permitirá computar <math>\varphi(n)</math> para cualquier valor entero de <i>n</i>. Necesitaremos el resultado de la siguiente proposición.
{{Ejmpl|Proposición}}<i> Sean <i>m</i> y <i>n</i> dos enteros positivos relativamente primos. Entonces,
{{Eqn|<math>\Z_{mn}^* \cong \Z_m^* \times \Z_n^*.</math>}}
:<i>Demostración: </i> Consideremos el grupo <math>G= \Z_{mn}^*</math> y sean <i>H</i> y <i>K</i> los subgrupos definidos por
::<math>H = \{[x] \in \mathbb{Z}_{mn}^*: x \equiv 1 \pmod{n}\}</math> y <br />
::<math>K = \{[x] \in \Z_{mn}^*: x \equiv 1 \pmod{m}\}. </math>
:Probaremos que <\math>G = HK \cong H \times K</math>. Se tiene que <i>H</i> y <i>K</i> son normales en <i>G</i> porque <i>G</i> es un grupo abeliano. Si <math>x \equiv 1 \pmod{n}</math> y <math>x \equiv 1 \pmod {m}</math> tenemos que <i>x-1</i> es divisible por <i>m</i> y <i>n</i>, lo que implica, por ser <i>m</i> y <i>n</i> relativamente primos, que <i>x-1</i> es divisible por <i>mn</i>, o sea que <math>x \equiv 1 \pmod{mn}</math>. Es decir que <math>H \cap K= \{[1]\}</math>. Para probar lo anunciado, solamente nos falta probar que <i>G</i> está generado por <i>H</i> y <i>K</i>. Como <i>m</i> y <i>n</i> son relativamente primos, hay enteros <i>u</i>, <i>v</i> tales que
<center><math>x-1 = un + vm, \quad\text{es decir que}\quad x = 1 + un +vm.</math></center>
:Sean <i>h = 1 + nu</i> y <i>k = 1 + vm</i>. Observemos que <i>[h]</i> está en <i>H</i> y que <i>[k]</i> está en <i>K</i>. Además,
<center><math>hk = (1+un)(1+vm) = 1 + un + vm + uvmn \equiv x \pmod{mn}.</math></center>
:Lo que prueba que <i>G=HK</i>. Por la proposición sobre el producto de subgrupos normales, tenemos que <math>G \cong H \times K</math>.
:Probaremos ahora que <math>H \cong \Z_m^{*}</math> y que <math>K \cong \Z_n^{*}</math>, lo que concluirá la demostración de la proposición.
:Observemos que si <i>x</i> es relativamente primo con <i>mn</i>, se cumple que <i>x</i> es relativamente primo con <i>m</i>. Por lo que la correspondencia <math>[x]_{mn} \rightarrow [x]_m</math> induce una función <math>f: H \rightarrow \Z_m^*</math>. Claramente, esta función es un homomorfismo. Si <i>x</i> en <i>H</i> es tal que <math>f(x) =[x]_m=1</math>, se debe cumplir que <math>x \equiv 1\pmod{m}</math> y <math>x \equiv 1 \pmod{n}</math>. Sigue del teorema Chino de los Residuos, que hay un único elemento con esa propiedad, 1. Por lo que <i>f</i> es un monomorfismo. Para probar que <i>f</i> es suprayectiva, para cada <i>[a]</i> en <math>\Z_m^*</math> debemos poder hallar un entero <i>x</i> en <i>H</i>, tal que <i>[x]_m =[a]_m</i>, Es decir un entero <i>x</i> tal que <math>x \equiv 1 \pmod{n}</math> y <math>x \equiv a \pmod{m}</math>. Nuevamente, por el teorema Chino de los Residuos, tal <i>x</i> existe, Luego <i>f</i> es un isomorfismo de <i>H</i> en <math>\Z_m^{*}</math>.
:De manera análoga, se verifica que <math>K \cong \Z_n^*</math>. Luego,
{{Eqn|<math>G \cong H \times K \cong \Z_m^* \times \Z_n^*.</math>}}
{{QED}}
<hr>
Contando los elementos en la relación de la proposición anterior, tenemos el siguiente resultado.
{{Ejmpl|Proposición}}<i>Sean <i>m</i> y <i>n</i> enteros positivos relativamente primos. Entonces, se cumple que
{Eqn|<math>\varphi(mn) = \varphi(m) \varphi(n).</math>}}
Una función de los Enteros en los Enteros con la propiedad anterior, se dice que es <i>multiplicativa</i>.
Veremos como la proposición anterior, junto con la fórmula para potencias de primos
<center><math>\varphi(p^n) =p^{n-1} (p-1),</math></center>
permite computar <i>\varphi(n)</i> para todo número natural <i>n</i>.
{{Ejmpl|Proposición}}<i> Sea <i>n</i> un número entero positivo mayor que 1. Si la descomposición en factores primos de <i>n</i> es
<center><math>n = p_1^{r_1} p_2^{r_2} \dots p_k^{r_k},</math></center>
entonces,
<center><math>\varphi(n) = \prod_{i=1}^k p_i^{r_i-1}(p_i-1).</math></center>
:<i>Demostración: </i> Aplicar la proposición anterior e inducción.
{{QED}}
<hr>
{{Ejmpl|Ejemplo}}
Hallar <math>\varphi(360)</math>.
Como <math>360=2^3*3^2*5</math>, <math>\varphi(360) =2^2*1*3*2*4=96</math>.
<hr>
== Grupos definidos por Generadores ==
[[w:Teoría geométrica de grupos|Teoría Geometríca de Grupos]]
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