Diferencia entre revisiones de «Cursos/E M T/1º Deporte - Matemáticas/Unidad 4»

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Un grupo puede definirse mediante generadores sujeto a restricciones (relaciones entre los generadores), lo que se representa como
<!---
<center><math> G = \langle a,b,c | r_1(a,b,...), r_2(a,b,.. ), ... \rangle </math></center>
-->
<center><math>
G = \langle a,b,c | r_1(a,b,...),
</math></center>
que leemos como que "G es el grupo generado por <i>a,b,c, </i> que satisfacen las restricciones <i>r_1(a,b,...), r_2 (a,b,.. ) ..."</i>
 
Formalmente, lo anterior significa que el conjunto <i>G</i> consiste de productos formales de expresiones
{{Eqn|<math>a^ib^jc^k \cdots \quad \text{&nbsp;\&nbsp; tales que &nbsp;\&nbsp;} 0 \le i,j,k, ...</math>}}
Los generadores se consideran las letras de un alfabeto que generan palabras. La potencia de una letra, significaa la repetición de esa letra como indicada en el exponente. Cuando el exponente es nulo, se lo considera que es la palabra vacía. La operación es la concatenación de palabras, esto es pegarlas juntas, que es claramente asociativa y tiene como neutro a la palabra vacía (sin letras). El largo de una palabra es la cantidad de letras de la palabra.
 
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En efecto, si tenemos un entero no negativo cualquiera <i>m</i>, por división por <i>n</i>, obtenemos <i>q</i>, <i>r</i> tales que <i>m=qn+r</i> con <math>0 \le r <n</math>. Luego,
{{Eqn|<math> a^m = a^{qn+r} =(a^n)^q a^r =e^qa^r = a^r.</math>}}
Por lo tanto, los únicos elementos posibles son los <imath>a^r</imath> con <imath>0\le r <n <imath>.
Se verifica fácilmente que tales elementos son todos diferentes., ya que si <i>0\le s <r </i> son tales que <i>a^=a^s</i>, se tiene que <i>a^{r-s}=e</i>, lo que es imposibloe por que <i>r-s <n</i>, y <i>n</i> era el mentor entero positivo cono esa propiedad.
 
Notemos que tenemos que <math>a^r a^{n-r} = a^n= e</math>. Es decir que el inverso de a<sup>r</sup> es a <sup>n-r</sup>. Por lo que <math>C_{n,a}</math> es un grupo llamado <em>grupo cíclico de orden n</em>.