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Diferencia entre revisiones de «Cursos/E M T/1º Deporte - Matemáticas/Unidad 4»

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Línea 2:
 
Un grupo puede definirse mediante generadores sujeto a restricciones (relaciones entre los generadores), lo que se representa como
<!---
<center><math> G = \langle a,b,c | r_1(a,b,...), r_2 (a,b,.. ), ... \rangle </math></center>
 
-->
<center><math>
G = \langle a,b,c | r_1(a,b,...),
</math></center>
que leemos como que "G es el grupo generado por <i>a,b,c, </i> que satisfacen las restricciones <i>r_1(a,b,...), r_2 (a,b,.. ) ..."</i>
 
Línea 20 ⟶ 24:
 
En general, tenemos que
{{Eqn|<math> C<sub>C_{n,a</sub}> = \{e, a, \dots, a^{n-1}\}.</math>}}
En efecto, si tenemos un entero no negativo cualquiera <i>m</i>, por división por <i>n</i>, obtenemos <i>q</i>, <i>r</i> tales que <i>m=qn+r</i> con <imath>0 \le r <n</imath>. Luego,
{{Eqn|<math> a^m = a^{qn+r} =(a^n)^q a^r =e^qa^r = a^r.</math>}}
Por lo tanto, los únicos elementos posibles son los <i>a^r</i> con <i>0\le r <n <i>.
Línea 42 ⟶ 46:
{{Eqn|<math> D_{2n} = \{e,a, ... , a^{n_1}, b, ab, ..., a^{n-1}\}.</math>,}}\
o sea que tiene 2n elementos. Ademas, como
{{Eqn|<math> a^i b^j b^{2-j} a^{n-i} = a^i b^2 a^{n-1} = aî a^ia^{n-1} = e</math>}}
Cada elementos es invertible. Es decir que <i>D_{2n}</i> ees sunun grupo.
 
Los grupos diedrales provienen de las simetrías de un polígono regular de n lados. *Congruencias que dejan fijo globalmente al polígono). Detalles al respecto, están en el apéndice XXX.
<hr>
=== Ejercicios ===
<ol>
<li> Verificar que las definición de potencia natural y sus propiedades son válidas para cualquier semigrupo.
 
<li> Construir las tablas de C<sub>n,a</sub> para n=2,3,4,5.
En cada caso identificar los inversos de los elementos.
 
<li> Sea G = C<sub>12,a</sub> = <a | a<sup>12</sup>=e>. Hallar el menor entero positivo k tal que (a<sup>r</sup>)<sup>k</sup> = e, r = 2 3, 4, 5, 6.
 
<li> Probar las relaciones no probadas de potencias, especialmente con exponentes negativos.
 
<li> Verifica que cuando la operación no es conmutativa, en general se cumple que <math>(ab)^2 = a*b*a*b.</math>
 
<li> Probar que cuando ''a'' conmuta (o permuta) con ''b'' (''ab=ba'') se cumple que:
<ol type = "a">
<li> ''a'' conmuta con cualquier potencia natural de ''b'', <math>ab^n = b^n a.</math>
<li> ''a'' conmuta con el inverso de ''b''.
<li> el inverso de ''a'' conmuta con cualquier potencia entera de ''b''.
</ol>
 
</ol>
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