Diferencia entre revisiones de «Cursos/E M T/1º Deporte - Matemáticas/Unidad 4»

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Línea 1:
== Grupos definidos por Generadores ==
Trabajando
 
Un grupo puede definirse mediante generadores sujeto a restricciones (relaciones entre los generadores), lo que se representa como
<center><math> G = \langle a,b,c | r_1(a,b,...), r_2 (a,b,.. ), ... \rangle </math></center>
 
que leemos como que "G es el grupo generado por <i>a,b,c, </i> que satisfacen las restricciones <i>r_1(a,b,...), r_2 (a,b,.. ) ..."</i>
 
Formalmente, lo anterior significa que el conjunto <i>G</i> consiste de productos formales de expresiones
{{Eqn|<math>a^ib^jc^k \cdots \quad \text{&nbsp;\&nbsp; tales que &nbsp;\&nbsp;} 0 \le i,j,k, ..</math>}}
Los generadores se consideran las letras de un alfabeto que generan palabras. La potencia de una letra, significaa la repetición de esa letra como indicada en el exponente. Cuando el exponente es nulo, se lo considera que es la palabra vacía. La operación es la concatenación de palabras, esto es pegarlas juntas, que es claramente asociativa y tiene como neutro a la palabra vacía (sin letras). El largo de una palabra es la cantidad de letras de la palabra.
 
 
Mayores detalles en el apéndice XXX.
 
{{Ejmpl| Ejemplo (Grupo Cíclico Finito)}}
Sea <math>\textsf{C}_{n,a} := \langle a | a^n =e \rangle.</math> donde <i>n</i> es un natural positivo. Los elementos de C<sub>n,a</sub> son palabras consistentes de solamente de aés, es decir potencias de <i>a</i>. La restricción consiste en que consideramos que <i>n</i> de esas letras son igual a la palabra vacía. (Podemos decir que si hay n letras aes juntas, las podemos borrar.
Además suponemos que tal <i>n</i> es el menor positivo con esa propiedad.
Consideremos a C<sub>3,a</sub>, sus elementos son <math>a, a^2, e</math> Operamos con ellos siguiendo las leyes de potencias. Por ejemplo,
{{Eqn|<math>a^2a^2 =a^4 = a^3a=ea=a</math>}}
 
En general, tenemos que
{{Eqn|<math> C<sub>n,a</sub> = \{e, a, \dots, a^{n-1}\}.</math>}}
En efecto, si tenemos un entero no negativo cualquiera <i>m</i>, por división por <i>n</i>, obtenemos <i>q</i>, <i>r</i> tales que <i>m=qn+r</i> con <i>0 \le r <n</i>. Luego,
{{Eqn|<math> a^m = a^{qn+r} =(a^n)^q a^r =e^qa^r = a^r.</math>}}
Por lo tanto, los únicos elementos posibles son los <i>a^r</i> con <i>0\le r <n <i>.
Se verifica fácilmente que tales elementos son todos diferentes., ya que si <i>0\le s <r <i> son tales que <i>a^=a^s</i>, se tiene que <i>a^{r-s}=e</i>, lo que es imposibloe por que <i>r-s <n</i>, y <i>n</i> era el mentor entero positivo cono esa propiedad.
 
Notemos que tenemos que <math>a^r a^{n-r} = a^n= e</math>. Es decir que el inverso de a<sup>r</sup> es a <sup>n-r</sup>. Por lo que <math>C_{n,a}</math> es un grupo llamado <em>grupo cíclico de orden n</em>.
<hr>
 
{{Ejmpl|Ejemplo (Grupos Diedrales)
Llamamos grupo diedral de orden 2n, <i>n \ge 3</i> al grupo denotado por <i>D_{2n}</i> y definido como
{{Eqn|<math>\textsf{D}_{2n} := \langle a,b : a^n = e, b^2 = e, bab = a^{n-1}\rangle.</math>}}
 
Notemos que los elementos de <i>D_{2n</i> son productos de expresiones de la forma <math>a^ib^j</math> con <i>0 \le i,j</i>. La tercera restricción nos dice que el grupo no es conmutativo, pero indica que podemos rearreglar las letras de modo que las aes estén delantes de las bes.
 
Supongamos que <i>n = 3</i>, entonces <i>bab=a^2</i> implica que <i>ba = a^2b</i>. Por lo que
<ul>
<li> <i>aba = a a^2b = b.</i> <li> <i>aababaab = aa(ba)baab = aaa^2bbaab =a^4b^2aab =aaab = b</i>.
</ul>
Es decir, que los elementos de <i>D_{2n</i> son los productos de la forma <math>a^ib^j</math> con <i>0 \le i<n,\quad j=0,1</i>. Es decir que
{{Eqn|<math> D_{2n} = \{e,a, ... , a^{n_1}, b, ab, ..., a^{n-1}\}.</math>,}}\
o sea que tiene 2n elementos. Ademas, como
{{Eqn|<math> a^i b^j b^2-j a^{n-i} = a^i b^2 a^{n-1} = aî a^{n-1} = e</math>}}
Cada elementos es invertible. Es decir que <i>D_{2n}</i> e sun grupo.
 
Los grupos diedrales provienen de las simetrías de un polígono regular de n lados. *Congruencias que dejan fijo globalmente al polígono). Detalles al respecto, están en el apéndice XXX.
<hr>
=== Ejercicios ===
<ol>
<li> Verificar que las definición de potencia natural y sus propiedades son válidas para cualquier semigrupo.
 
<li> Construir las tablas de C<sub>n,a</sub> para n=2,3,4,5.
En cada caso identificar los inversos de los elementos.
 
<li> Sea G = C<sub>12,a</sub> = <a | a<sup>12</sup>=e>. Hallar el menor entero positivo k tal que (a<sup>r</sup>)<sup>k</sup> = e, r = 2 3, 4, 5, 6.
 
<li> Probar las relaciones no probadas de potencias, especialmente con exponentes negativos.
 
<li> Verifica que cuando la operación no es conmutativa, en general se cumple que <math>(ab)^2 = a*b*a*b.</math>
 
<li> Probar que cuando ''a'' conmuta (o permuta) con ''b'' (''ab=ba'') se cumple que:
<ol type = "a">
<li> ''a'' conmuta con cualquier potencia natural de ''b'', <math>ab^n = b^n a.</math>
<li> ''a'' conmuta con el inverso de ''b''.
<li> el inverso de ''a'' conmuta con cualquier potencia entera de ''b''.
</ol>
 
</ol>