Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Teoría de grupos/Grupos»

==Semigrupos, monoides y grupos==

 

'''<font size=3>Definición 1.1:</font>''' Sea <math>S</math> un conjunto. Una aplicación

 

 

 

'''<font size=3>Teorema 1.7:</font>''' ''Sea <math>G</math> un grupo y <math>a,b,c</math> elementos de <math>G</math>. Se cumplen''

{{Eqn|<math>ae=a\qquad\mbox{y}\qquad e'a=a,</math>}}

y si <math>g</math> es un elemento cualquiera de <math>G</math>, entonces también existen <math>r</math> y <math>s</math> de <math>G</math> tales que

{{Eqn|<math>as=g\qquad\mbox{y}\qquad ta=g,</math>}}

de modo que

{{Eqn|<math>

ge=(ta)e=t(ae)=ta=g

</math>|1.1}}

y

{{Eqn|<math>

e'g=e'(as)=(e'a)s=as=g.

</math>|1.2}}

 

Puesto que <math>g</math> es cualquier elemento de <math>G</math>, podemos tomar <math>g=e'</math> en {{Eqnref|1.1}} y <math>g=e</math> en {{Eqnref|1.2}}, obteniendo <math>e'e=e'</math> y <math>e'e=e</math>, luego <math>e=e'</math> es la identidad de <math>G</math>. Ahora, si <math>a'</math> y <math>a''</math> son las soluciones de <math>ax=e</math> y <math>ya=e</math>, entonces <math>a'</math> y <math>a''</math> son, respectivamente, los inversos derecho e izquierdo de <math>a</math>, y como vimos, debe de ser <math>a'=a''</math>. Esto prueba que <math>G</math> es un grupo.}}