Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Historia/Números Inconmensurables»

= Estructuras Algebraicas =
El Álgebra Moderna o Abstracta se caracteriza por preocuparse de las operaciones y sus propiedades y no tanto de la naturaleza de los elementos donde esas operaciones actúan. Este capítulo es una breve introducción a la clasificación de los objetos de interés para nuestra Álgebra.
 
Definiciones más precisas aparecerán en los capítulosposteriores.
== Definiciones Básicas ==
Una '''estructura algebraica''' es un lista o sucesión finita <math><E, *_1, *_2, ...><\/math> donde <math>E</math> es un conjunto (conjunto base de la estructura) y <math>*_1, *_2,...,> </math> son operaciones en <math>E</math>.
 
El tipo de la estructura queda determinado por las operaciones y sus propiedades.
 
Una '''subestructura''' dsede una estructura es una estructura cuyo conjunto base es un subconjunto del conjunto de la estructura y que respecto a las operaciones restringidas al subconjunto determinan una estructura del mismo tipo.
 
== Tipos de EstruscturasEstructuras ==
Las estructuras se clasifica por la cantidad de las operaciones y las propiedades supuestas.
 
=== Estructuras con una Operación ===
 
La estructura <math><E, *> </math> conm una operación cualquiera se llama '''magma'''.
Un magma (resp. semigrupo, monoide, grupo) es conmutativo (o abeliano) cuando la operación es conmutativa.
 
Subestructuras posibles serán: submagamas, subsemigrupos, etc.,br />
<font size =2> Ejemplos. </font>
 
<font size =23> Ejemplos. </font>
# Los Enteros con la resta forman un magma.
# Los Naturales con la suma forman un semigrupo.
# Los
# Los Naturales con el 0 agregado, <math> {\mathbb N}_0</math>, forman un monoide.
# Los Enteros con la suma determina un grupo abeliano.
# Los Racionales, los Reales y los Complejos no nulos, con la multiplicación usual, determinan grupos abelianos.
=== Estructuras con dos Operaciones ===
La estructura típica con dos operaciones es un '''anillo''' <math><A, + \cdot><\/math> tal que: <math><A,+></math> es un grup[o abeliano, <math><A,\cdot></math> es un semigrupo y la multiplicación es distributiva respecto a la suma.
 
:Un anillo es ''cancelativo'' cuando todos sus elementos no nulo son cancelables.
:Un cuerpo es un anillo cuyo semigrupo multiplicativo es un cuerpo.
 
<big> Ejemplos </big>
Un cuerpo es un anillo cuyo semigrupo multiplicativo es un cuerpo.
# Los Enteros con la suma y la multiplicación determina un anillo.
# Los Racionales, los Reales y los Complejos, con la suma y multiplicación usuales, determinan cuerpos.
# Las matrices <math> 2 \times 2</math> con entradas reales formam un anillo,
--=== Estructuras con Operaciones Externas ===
 
Una operación externa en un conjunto <math>E</math> es uan función de la forma
<math> A \times E \rightarrow E </math>; es decir la asociación a un elemento de $A$ y un elemento de $E$ de un nuevo elento de <math>E</math>.
 
* '''Módulo''' es un grupo abeliano <math><M,+></math> con operación escrita como suma y una operación externa proveniente de un anillo <math>A</math>, <math> (a,x) \rightarrow ax</math> (multiplicación por escalr ) tal que para todo <math> a, b \in A</math> y <math> x,y \in M</math> se cumple que
<center><math>
\begin{array}{rcl}
(a+b)x &=& ax + bx \\
(ab)x &=& a(bx) \\
1 x & = & x \\
a(x+y) & = & ax + ay.
\end{array}
</math></center>
Los elementos de <math>A</math> son los escalares.
 
* Un Espacio Vectorial es un modulo cuyo anillo es un cuerpo.
* Una Álgebra es un módulo provisto de multiplicación distributiva sobfre la suma del módulo y compatible con la multiplicación por escalares.
 
<big>Ejemplos.</big>
 
# Los vectores de los cursos de Cálculo multidimensional y los espacio vectorailes del älgebra Lineal son espacios vectoriales con escalares los números reales.
 
# Las matrices y los polinomios forman álgebras con escalafres los Reales.
 
 
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