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<math>F_x=\int_{S} d \vec{F} \hat{i}=\int_{S} \frac{d \vec{F}}{dS} dS \hat{i}</math>
.0¿0-
y teniendo en cuenta que la fuerza ejercida por la presión del líquido se dirige en sentido opuesto a la normal de la superficie del cuerpo
<math>F_x=\int_{S} -p \hat{i} \hat{n} dS </math>
teniendo en cuenta el teorema de la divergencia [[w:Teorema de la divergencia]]
<math>F_x=-\int_{S} p \hat{i} \hat{n} dS =-\int_{V} \boldsymbol\nabla (p \hat{i}) dV</math>
pero <math>\boldsymbol\nabla (p \hat{i})=\frac{\part p}{\part x}</math> y por tanto
<math>F_x=-\int_{V} \frac{\part p}{\part x} dV</math>
Ecuaciones similares se cumplen para las coordenadas y,z, lo que permite obtener la siguiente expresión de para el vector fuerza total.
<math>\vec{F}=F_x \hat{i} + F_y \hat{j} +F_z \hat{k} = -\hat{i} \int_{V} \frac{\part p}{\part x} dV -\hat{j} \int_{V} \frac{\part p}{\part y} dV -\hat{k} \int_{V} \frac{\part p}{\part z} dV=- \int_{V} \boldsymbol\nabla p dV </math>
La presión no puede expresarse como <math>p=\rho g (h-z)</math>
donde <math>\rho</math> es la densidad del líquido
<math>g</math> la aceleración de la gravedad
<math>h</math> altura de líquido desde el origen de coordenadas
El gradiente de la presión es entonces: <math>\boldsymbol\nabla p =-\rho g \hat{k}</math> y
<math>\vec{F}=- \int_{V} \boldsymbol\nabla p dV = \rho g \hat{k} V=m_{desp} g \hat{k}</math>
Luego la fuerza ejercida por el líquido es igual al peso del líquido desplazado y el sentido es el positivo del eje z (hacia arriba).
[[Categoría:Física]]
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