Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Generalidades/Operaciones»

Contenido eliminado Contenido añadido
Sin resumen de edición
Sin resumen de edición
Línea 1:
= Operaciones (Matemáticas) =
==0 1. Introducción. ==
 
== 2. Definición de Operación. ==
1. Introducción.
 
2. Definición de Operación.
Definición 2.1. Sea ''E'' un conjunto no vacío. Llamamos operación (binaria) en ''E'' a una función de ''E x E --> E''.
 
Línea 9:
 
Ejemplos 1.
 
a. La adición, sustracción y multiplicación son operaciones en el conjunto de los números enteros, <math>\mathbb{Z}<\math>,
ba. LasLa operacionesadición, delsustracción mismoy nombremultiplicación son operaciones en el conjunto de los Racionalesnúmeros enteros, <math>\mathbb{QZ} </math>;. igual situación tenemos en los Reales, <math> \mathbb{R} <\math>.
 
b. Las operaciones del mismo nombre son operaciones en los Racionales, <math>\mathbb{Q} </math>; igual situación tenemos en los Reales, <math>\mathbb{R} </math>;.
 
Observemos que es necesario especificar como diferentes la adición en Los Enteros, de la adición en los Racionales y de la adición de los Reales, ya que por la definición dada son diferentes, ya que sus dominios como funciones son diferentes. Aunque en rigor debiéramos usar nombre y símbolos diferentes para cosas diferentes, la costumbre hace que usemos el mismo nombre y símbolo en esos casos. Tal situación no produce problemas cuando nos interesan los resultados específicos de una de esas operaciones, ya que producen el ``mismo'' resultados; sin embargo, más adelante, veremos que hay diferencias algebraicas entre ellas.
 
Ejemplos 2. Sea X un conjunto cualquiera y sea E el conjunto de los subconjuntos de E. La (re)union, <math>\cup,\math>, y la intersección, <math> \cap <\math>, de conjuntossubconjuntos son operaciones en E.
 
Ejemplo 3. Sea X un conjunto cualquiera no vacío y sea E el conjunto de todas las funciones de E en E. La composición de funciones es una operación en E, denotada por °.
 
3.== Propiedades Generales de Operaciones. ==
 
Las operaciones binarias, como abstracciones de las operaciones clásicas, reciben una atención especial y se destacan algunas propiedades de las mismas.
 
Definición 2. Sea * una operación cualquiera en un conjunto E. Decimos que la operación es
 
a. '''asociativa''', ssi, ''x * (y * z) = (x * y)* z'', para todo x,y,z de E.
 
b. '''conmutativa''', ssi, ''x * y = y * x'', para todo x, y de E.
 
c. '''distributiva''' respecto a una operación #, ssi,
''x * (y # z) = x * y # x * z'', , (y #z) * x = y * x # z * x.
 
• La adición y la multiplicación en los conjuntos numéricos son asociativas y conmutativas.
 
• La sustración en cualquiwera de los sistemas numéricos no es ni asociativa ni conmutativa.
 
• La reunión y la intersección de subconjuntos son operaciones asociativas y conmutativas.
 
• La composición de funciones es asociativa ni conmutativa.
4. Elementos Destacados.
 
5== 4. SubconjuntosElementos Destacados. ==
 
Definición Sea * una operación en un conjunto E. Llamamos elemento neutro (respecto a la operación *) a un elemento e de $E tal que para todo elemento a de E se cumpla que ''a * e = e = e * a".
 
• El cero, 0, es un elemento neutro respecto a la adición en los conjuntos numéricos; mientras que el 1 es neutro respecto a la multiplicación.
 
• El conjunto vacío es un neutro respecto a la reunión de conjuntos, mientras que el conjunto del que estamos considerando los subconjuntos es un neutro respecto a la intersección.
 
• Con respecto a la composición de funciones del conjunto $E$ en si mismo, la función identidad, 1_A es un neutro.
 
4.== Elementos Subconjuntos Destacados. ==
 
6. Estructuras.