Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Bachillerato LOGSE/Derivadas»
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Línea 74:
La derivada segunda <math>F''(x)</math> (derivada de la derivada) se anula en los puntos en los cuales se encuentran puntos de inflexión en la función original,que es donde cambia la curvatura de la función <math>F(x)</math>
== Ejemplos ==
=== Ejemplo #1 ===
Sea <math>f \,</math> la función <math>f(x)=2x^3+9x^2-24x+51 \,</math>, definida sobre el conjunto de los números reales (denotado por <math>\mathbb R \,</math>). Para conocer sus variaciones se observa su derivada:
:<math>f^\prime(x)=6x^2+18x-24</math>
Para encontrar el signo de <math>f^\prime(x)</math>, se tiene que factorizar:
:<math>\begin{array}{rcl}f^\prime(x)&=&6(x^2+3x-4)\\&=&6(x+4)(x-1)\end{array}</math>
lo anterior que se hace resolviendo una [[ecuación de segundo grado]].
También se observa su segunda derivada:
:<math>f''(x)=12x+18</math>
Dado que <math>f'(1)=0\,</math> y <math>f''(1)>0\,</math> entonces <math>f\,</math> tiene un mínimo local en 1 y su valor es <math>f(1)=38\,</math>.
Dado que <math>f'(-4)=0\,</math> y <math>f''(-4)<0\,</math> entonces <math>f\,</math> tiene un máximo local en -4 y su valor es <math>f(-4)=163\,</math>.
Nótese que la derivada es diferenciable en todo su dominio y hay exactamente 2 valores de <math>x</math> tales que <math>f'(x)=0\,</math>, los cuales son <math>x=1\,</math> y <math>x=-4\,</math>, tomando en cuenta el teorema del valor medio y que <math>f''(-4)<0\,</math> entonces la derivada es negativa en el intervalo <math>(-4,1)\,</math> por lo tanto la función es decreciente en el intervalo <math>[-4, 1]\,</math>.
Al ser una función basada en un polinomio cúbico no está acotada ni por arriba ni por abajo y como su derivada es una función cuadrática entonces no tiene más de 2 puntos con derivada igual a cero, por tanto la función es creciente en el intervalo <math>[1, \infty)\,</math> y en el intervalo <math>(-\infty, -4]\,</math>.
=== Ejemplo #2 ===
Utilizando la definición de derivada de una función, determinar la derivada de la función.
:<math>\mathit{f} (x)= 3x-2 \,</math>
:<math>\mathit{f} (x+\Delta x)= 3(x+\Delta x)-2 \,</math>
:<math>\mathit{f'} (x) = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{\mathit{f}(x+\Delta x)-\mathit{f}(x)}{\Delta x}</math>
Sustituir datos:
:<math> \lim_{\Delta x\to 0} \frac{3(x+\Delta x)-2-(3x-2)}{\Delta x} </math>
Desarrollar:
:<math>\lim_{\Delta x\to 0} \frac{3x +3\Delta x-2-3x+2}{\Delta x}</math>
:<math>\lim_{\Delta x\to 0} \frac{3\Delta x}{\Delta x}</math>
:<math>\mathit{f'} (x) = \lim_{\Delta x\to 0}3 = 3</math>
Entonces, la derivada de la función <math>\mathit{f} (x)= 3x-2 \,</math> es:
:<math>\mathit{f'} (x) = 3 \,</math>
=== Ejemplo #3 ===
Encuentra la derivada de:
:<math>g(x)= \sqrt{(1+2x)}</math>
:<math>g'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{1+2(x+h)}-\sqrt{1+2x}}{h}</math>
Racionalizando:
:<math>g'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{1+2(x+h)}-\sqrt{1+2x}}{h} * \frac{\sqrt{1+2(x+h)}+\sqrt{1+2x}}{\sqrt{1+2(x+h)}+\sqrt{1+2x}}</math>
:<math>g'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{1+2x+2h-1-2x}{h(\sqrt{1+2x+2h}+\sqrt{1+2x})}</math>
:<math>g'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{2h}{h(\sqrt{1+2(x+h)}+\sqrt{1+2x})}</math>
:<math>g'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{2}{\sqrt{1+2(x+h)}+\sqrt{1+2x}}</math>
Calculamos el límite:
:<math>g'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{2}{\sqrt{1+2(x+h)}+\sqrt{1+2x}}</math>
:<math>g'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{2}{\sqrt{1+2(x+0)}+\sqrt{1+2x}}</math>
:<math>g'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{2}{\sqrt{1+2x}+\sqrt{1+2x}}</math>
:<math>g'(x)= \frac{2}{2\sqrt{1+2x}}</math>
:<math>g'(x)= \frac{1}{\sqrt{1+2x}}</math>
== Véase también ==
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