Diferencia entre revisiones de «Álgebra Lineal/Sistema de ecuaciones lineales»

Contenido eliminado Contenido añadido
Pirenne (discusión | contribs.)
mSin resumen de edición
Rutrus (discusión | contribs.)
Sin resumen de edición
Línea 22:
4. <math>x_1x_2 + 2x_3 = 0 \!</math>
<br>NO ES una ecuación lineal porque <math>x_1x_2 </math> es un término elevado a la segunda potencia.
 
==Funciones Lineales==
 
'''Definición''': Una función <math>f: V \rightarrow K </math>, donde V es un espacio vectorial sobre '''K''', llamada función lineal entonces, <math>\forall u, v \in V</math> e <math> \forall \lambda \in K</math>:
 
:<math>f(u + v) = f(u) + f(v)</math>
:<math>f(\lambda v) = \lambda f(v)</math>
 
'''Teorema de existencia y unicidad''': Sea '''V''' un espacio vectorial de dimensión ''n'' y <math>\alpha = \{v_1, v_2, \ldots, v_n \}</math> una base de '''V''', entonces existe una única función ''f'', tal que <math>f(v_i) = \lambda_i, i = 1, 2, \ldots, n, \lambda_i \in K</math>
 
'''Teorema da base dual''': Sea '''V''' un espacio vectorial y, <math>\mathrm{dim} V = n</math> e <math>\beta = \{v_1, v_2, \ldots, v_3\} </math>
una base de V, entonces existe una única base <math>\beta^* = \{f_1, f_2, \ldots, f_n\}</math> de <math>V^*</math>
tal que <math>f_i(v_j) = \delta_{ij}</math>
 
'''Definiciones''':
 
:<math>\beta^*</math> será llamada de base dual de <math>\beta</math>.
:<math>V^*</math> será llamado espacio dual de V.
 
'''Corolarios''':
 
:<math>f = \sum f(v_i)f_i</math>
:<math>v = \sum f_i(v)v_i</math>
 
==Teorema de representación de funciones lineales==
 
Sea '''V''' un espacio vetorial sobre '''K''', <math>\mathrm{dim} V = n</math>, con produto escalar, y
<math>f: V \rightarrow K</math> una función lineal, entonces existe um único vetor <math>v_o \in V</math>, tal
que <math>f(v) = \langle v, v_o \rangle</math>, <math>\forall v \in V</math>.
 
Demostrándose que <math>v_o = \sum \overline{f(e_i)}e_i</math>
 
---++ Adjunta de um operador linear
 
Sea '''V''' un espacio vectorial.
 
El operador adjunto, <math>T^* : V \rightarrow V </math>, de um determinado operador lineal <math>T : V \rightarrow V</math> está definido por la igualdad:
 
:<math> \langle T(u), v \rangle = \langle u, T^*(v) \rangle , \quad \forall u, v \in V</math>
 
Demostrándose que todo operador linear posee un y apenas un operador correspondiente.
 
A partir de la definición, podemos obtener las siguientes consecuencias (prove!):
 
:<math>(S + T)^* = S^* + T^*</math>
:<math>(\lambda T)^* = \bar{\lambda} T^*</math>
:<math>(S \circ T)^* = T^* \circ S^*</math>
 
'''Proposición''': Sea '''V''' un espacio vectorial sobre '''K''', <math>\mathrm{dim} V = n</math>, con producto escalar.
Sea <math>\alpha = \{e_1, e_2, \ldots, e_n\}</math> una base ortonormal de '''V'''. Entonces
<math>[T]_\alpha = (a_{ij})</math>, donde <math>a_{ij} = \langle T(e_j), e_i \rangle</math>
 
'''Corolario''': Sea '''V''' un espacio vectorial sobre '''K''', <math>\mathrm{dim} V = n</math>, con producto escalar.
Entonces, para qualquer base <math>\alpha = \{e_1, e_2, \ldots, e_n\}</math> ortonormal de '''V''', tenemos que
la matriz <math>[T^*]_\alpha = (\overline{[T]_\alpha})^t</math>.
 
 
[[en:Algebra:Systems of linear equations]]
[[pt:Álgebra Linear: Índice]]