Diferencia entre revisiones de «Álgebra/Álgebra abstracta/ Grupos/Acciones de grupo»

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Línea 35:
El centralizador <math>C_G(h)</math> es, pues, el conjunto de todos los elementos de <math>G</math> que conmutan con <math>h</math>. Como toda acción de grupo, la acción por conjugación determina un homomorfismo <math>G\longrightarrow \Sigma_G</math>, y su núcleo es
<center><math>\{h\in G\mid ghg^{-1} = h\mbox{ para todo }g\in G\}</math>,</center>
al que llamaremos '''centro''' de <math>G</math> y lo representaremos <math>Z(G)</math>. El centro de <math>G</math> no es más que el subgrupo de <math>G</math> formado por los elementos de <math>G</math> que conmutan con cualquier elemento de <math>G</math>. Notemos que <math>h^G = \{h\}</math> si y sólo si <math>h\in Z(G)</math>, o puesto de otro modo, <math>|h^G| = 1</math> si y sólo si <math>h\in Z(G)</math>.
 
 
Veamos ahora una relación muy importante entre órbitas y estabilizadores en general.
 
{{Teo|Teorema 2| Si un grupo <math>G</math> actúa sobre un conjunto <math>S</math>, entonces para todo <math>s\in S</math>
<center><math>|\Omega_s| = [G : G_s].</math></center>
}}