Diferencia entre revisiones de «Álgebra/Álgebra abstracta/ Grupos/Acciones de grupo»

Un grupo también actúa sobre sí mismo por medio de automorfismo internos: tomamos cada <math>\alpha_g : G\longrightarrow G</math> se toma como el automorfismo interno dado por <math>k\longmapsto kgk^{-1}</math>. Vamos a verificar que se cumplen la propiedades 1 y 2 de la definición de acción de grupo: por supuesto <math>1\cdot k\cdot 1^{-1} = k</math> para todo <math>k\in G</math>, y para cualesquiera <math>g,h\in G</math> tenemos <math>\alpha_g\circ\alpha_h (k) = g(hkh^{-1})g^{-1} = (gh)k(h^{-1}g^{-1}) = (gh)k(gh)^{-1} = \alpha_{gh}(k)</math> para todo <math>k\in G</math>. Esto comprueba que los automorfismos internos <math>\alpha_g</math> determinan una acción de grupo. Cuando <math>G</math> actúa sobre sí mismo de esta manera, se dice también que lo hace por conjugación, y la órbita de un <math>h\in G</math> se representa por