Diferencia entre revisiones de «Álgebra/Álgebra abstracta/ Grupos/Acciones de grupo»
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Ahora veamos los ejemplos de acciones de grupo que nos resultarán de utilidad.
Por supuesto, todo grupo <math>G</math> actúa sobre sí mismo por traslación: en esta caso definimos <math>\alpha_g</math> por <math>h\longmapsto gh</math> para todo <math>h\in G</math>, donde <math>gh</math> es simplemente el producto de <math>g</math> y <math>h</math> en <math>G</math>, que podemos llamar una "traslación" (izquierda) de <math>h</math> por <math>g</math>. La órbita de cualquier <math>g\in G</math> es el grupo completo <math>G</math>, pues todo <math>h\in G</math> es de la forma <math>(hg^{-1})g\in\Omega_g</math>. El estabilizador de cualquier <math>g</math> es el subgrupo trivial de <math>G</math>, pues <math>1\in G</math> es el único que cumple <math>1\cdot g = g</math>. Ahora bien, el homomorfismo <math>\varphi: G\longrightarrow \Sigma_G</math> que esta acción determina es inyectivo, pues <math>g\in\ker\varphi</math> si y sólo si <math>gh = h</math> para todo <math>h\in G</math>, y al elegir <math>h = 1</math> tenemos que <math>g = 1</math>, por lo que el núcleo de <math>\varphi</math> es trivial y por tanto <math>\varphi</math> es un monomorfismo. Por lo tanto, <math>\varphi : G\longrightarrow \varphi(G)</math> es un isomorfismo, y hemos demostrado el
{{Teo|Teorema 1 (Cayley)|Todo grupo <math>G</math> es isomorfo a un subgrupo de <math>\Sigma_X</math>, donde <math>|X| = |G|</math>.}}
Un grupo también actúa sobre sí mismo por medio de automorfismo internos: tomamos cada <math>\alpha_g : G\longrightarrow G</math> se toma como el automorfismo interno dado por <math>k\longmapsto kgk^{-1}</math>. Vamos a verificar que se cumplen la propiedades 1 y 2 de la definición de acción de grupo: por supuesto <math>1\cdot k\cdot 1^{-1} = k</math> para todo <math>k\in G</math>, y para cualesquiera <math>g,h\in G</math> tenemos <math>\alpha_g\circ\alpha_h (k) = g(hkh^{-1})g^{-1} = (gh)k(h^{-1}g^{-1}) = (gh)k(gh)^{-1} = \alpha_{gh}(k)</math> para todo <math>k\in G</math>. Esto comprueba que los automorfismos internos <math>\alpha_g</math> determinan una acción de grupo. Cuando <math>G</math> actúa sobre sí mismo de esta manera, se dice también que lo hace por conjugación, y la órbita de un <math>h\in G</math> se representa por
<center><math>h^G = \{ghg^{-1}\mid g\in G\}</math></center>
y se llama '''clase de conjugación''' de <math>h</math> en <math>G</math>, mientras que el estabilizador de <math>h</math> se llama '''centralizador''' de <math>h</math> en <math>G</math> y lo representaremos por
<center><math>C_G(h) = \{g\in G\mid ghg^{-1} = h\} = \{g\in G\mid gh = hg\}</math>.</center>
El centralizador <math>C_G(h)</math> es, pues, el conjunto de todos los elementos de <math>G</math> que conmutan con <math>h</math>.
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