Diferencia entre revisiones de «Álgebra/Álgebra abstracta/ Grupos/Acciones de grupo»
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Línea 15:
# la relación <math>\sim</math> sobre <math>S</math> dada por <math>s\sim t</math> si y sólo si <math>t\in \Omega_s</math> es de equivalencia.
Verificar la afirmación de primer apartado se deja como ejercicio al lector. Para demostrar el segundo apartado, supongamos que <math>s,t,u\in S</math>. Por el apartado 1 de la definición anterior, tenemos <math>1s = s</math> y por tanto <math>s\in\Omega_s</math>, así que <math>\sim</math> es reflexiva; si <math>t = gs</math>, entonces <math>s = 1s = (g^{-1}g)s = g^{-1}(gs) = g^{-1}t</math>, luego <math>s\in\Omega_t</math> y <math>\sim</math> es simétrica; si <math>t = gs</math> y <math>u = ht</math> entonces <math>u = h(gs) = (hg)s</math> con <math>hg\in G</math>, luego <math>t\in\Omega_s</math> y <math>u\in\Omega_t</math> implica <math>u\in\Omega_s</math> y con esto <math>\sim</math> es transitiva. Por tanto, <math>\sim</math> es una relación de equivalencia, y así ésta induce una partición de <math>S</math> en clases de equivalencia, siendo
Es más fácil comprender una acción de grupo <math>\alpha: G\times S\longrightarrow S</math> si vemos que al fijar un <math>g\in G</math>, este determina, a través de la acción de grupo, una aplicación <math>\alpha_g : S\longrightarrow S</math> dada por <math>s\mapsto gs</math>. La acción de grupo está completamente determinada por estas aplicaciones. Notemos que la propiedad 2 de la definición de acción de grupo nos dice que <math>\alpha_g\circ\alpha_h = \alpha_{gh}</math>, y con esto comprobamos de forma inmediata que cada <math>\alpha_g</math> es una biyección, pues su inversa es <math>\alpha_{g^{-1}}:</math>
<center><math>\alpha_g\circ\alpha_{g^{-1}} = \alpha_{gg^{-1}} = \alpha_1 = \alpha_{g^{-1}g} = \alpha_{g^{-1}}\circ\alpha_g</math>,</center>
donde <math>\alpha_1</math> es la aplicación identidad sobre <math>S</math> por la propiedad 1 de la definición de acción de grupo.
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