Diferencia entre revisiones de «Álgebra/Álgebra abstracta/ Grupos/Acciones de grupo»
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Inicio con la definición de acción de grupo, órbitas y estabilizadores |
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Línea 9:
<center><math>G_s = \{g\in G\mid gs = s\}.</math></center>
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Si <math>G</math> es un grupo que actúa sobre un conjunto <math>S</math>, notemos lo siguiente:
# el estabilizador de un <math>s\in S</math> es un subgrupo de <math>G</math>, y
# la relación <math>\sim</math> sobre <math>S</math> dada por <math>s\sim t</math> si y sólo si <math>t\in \Omega_s</math> es de equivalencia.
Verificar la afirmación de primer apartado se deja como ejercicio al lector. Para demostrar el segundo apartado, supongamos que <math>s,t,u\in S</math>. Por el apartado 1 de la definición anterior, tenemos <math>1s = s</math> y por tanto <math>s\in\Omega_s</math>, así que <math>\sim</math> es reflexiva; si <math>t = gs</math>, entonces <math>s = 1s = (g^{-1}g)s = g^{-1}(gs) = g^{-1}t</math>, luego <math>s\in\Omega_t</math> y <math>\sim</math> es simétrica; si <math>t = gs</math> y <math>u = ht</math> entonces <math>u = h(gs) = (hg)s</math> con <math>hg\in G</math>, luego <math>t\in\Omega_s</math> y <math>u\in\Omega_t</math> implica <math>u\in\Omega_s</math> y con esto <math>\sim</math> es transitiva. Por tanto, <math>\sim</math> es una relación de equivalencia, y así ésta induce una partición de <math>S</math> en clases de equivalencia, siendo estas las órbitas de los elementos de <math>S</math>.
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