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Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Precálculo/Derivadas, reglas y teoremas»

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m Un error pequeño en la derivada de un cociente.
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+notación +retoques
Línea 42:
 
Sea <math> \ f(x)=x^n </math>
Empleando el desarrollo del binomio de Newton obtenemos un término en potencia 0 de ''h'', uno en potencia ''h'' y el resto iguales o superiores a <math> h^2 </math>.
:<math>
\frac {df}{dx}=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{x^n+hnx^{n-1}+h^2(...)-x^n}{h}
Línea 64:
</math>
===Exponencial en base arbitraria===
Sea <math> \ f(x)=a^x </math>. Aplicando logaritmo y exponenciación sucesivamente tenemos que <math> \ ln(e^{f(x)})=f(x)=e^{xlnx\ln(a)} </math>, de modo que derivando obtenemos:
:<math>
\frac{d(a^x)}{dx}=\ln(a)e^{xlnx\ln(a)}=\ln(a)a^x
</math>
== Logaritmo neperianonatural ==
Por definición de logaritmo neperianonatural tenemos que:
:<math>
\ ln(e^t)=t
</math>
Efectuamos el cambio de variable <math> x=e^t </math>, derivando respecto a ''t'' y aplicando la regla de la cadena obtenemos:
:<math>
\frac {dlnd\ln(x)}{dt}=\frac {dlnd\ln(x)}{dx}\frac{dx}{dt}=1
</math>
Dado que <math> x=e^t </math>
Línea 83:
Sustituyendo en la penúltima expresión:
:<math>
\frac{dlnd\ln(x)}{dx}=\frac{1}{x}
</math>
==Funciones trigonométricas==
Línea 89:
* El primer límite que emplearemos es:
:<math>
\lim_{x \to 0}\frac {1-\cos(x)}{x}=0
</math>
'''DemoDemostración'''
Para ángulos en el primer cuadrante se verifica que:
:<math>
\ 0\leq \sin(x)\leq x\leq \tan(x)
</math>
Elevando al cuadrado y dividiendo por ''x'':
:<math>
0\leq\frac{\sin^2(x)}{x}=\frac {1-\cos^2(x)}{x}=\frac {(1-\cos(x))(1+\cos(x)}{x}\leq x
</math>
De modo que tenemos:
:<math>
0\leq\lim_{x \to 0}\frac {1-\cos(x)}{x}\leq\lim_{x \to 0}\frac {x}{1+\cos(x)}=0
</math>
El segundo límite es trivial y da 0 de modo que:
:<math>
\lim_{x \to 0}\frac {1-\cos(x)}{x}=0
</math>
 
* El segundo límite es:
:<math>
\lim_{x \to 0}\frac {\sin(x)}{x}=1
</math>
 
'''DemoDemostración'''
Empleando la misma desigualdad que en caso anterior para ángulos del primer cuadrante:
:<math>
\ sin(x)\leq x\leq \tan(x)
</math>
Dividiendo por sin(''x'') tenemos:
:<math>
\ 1 \leq\frac{x}{\sin(x)}\leq\frac{1}{\cos(x)}
</math>
Aplicando límite a los tres términos:
:<math>
\lim_{x\to 0}1=1\leq\lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin(x)}\leq\lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos(x)}=1
</math>
Obteniendo:
:<math>
\lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin(x)}=1
</math>
 
 
===Seno===
Aplicando la definición de derivada y aplicando el seno de la suma:
:<math>
\frac{dsind\sin(x)}{dx}=\lim_{h \to 0}\frac {\sin(x+h)-\sin(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac {\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)}{h}
</math>
Separando en dos límites
:<math>
\frac{dsin(x)}{dx}=\sin(x)\lim_{h \to 0}\frac {\cos(h)-1}{h}+\cos(x)\lim_{h \to 0}\frac {\sin(h)}{h}
</math>
El primero de los límites resulta ser 0 mientras que el segundo es 1 obteniendo por tanto:
:<math>
\frac{dsind\sin(x)}{dx}=\cos(x)
</math>
===Coseno===
Línea 151 ⟶ 150:
Aplicando la definición de derivada y aplicando el coseno de la suma:
:<math>
\frac{dcosd\cos(x)}{dx}=\lim_{h \to 0}\frac {\cos(x+h)-\cos(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac {\cos(x)\cos(h)-\sin(x)\sin(h)-\cos(x)}{h}
</math>
Separando en dos límites
:<math>
\frac{dcosd\cos(x)}{dx}=\cos(x)\lim_{h \to 0}\frac {\cos(h)-1}{h}-\sin(x)\lim_{h \to 0}\frac {\sin(h)}{h}
</math>
El primero de los límites es 0 mientras que el segundo es 1 obteniendo por tanto:
:<math>
\frac{dcosd\cos(x)}{dx}=-\sin(x)
</math>
===Tangente===
La tangente viene definida como:
:<math>
\ tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}
</math>
Aplicando la derivada del producto (podemos entender el cociente como el producto de una función por la otra elevada a -1).
:<math>
\frac{d(\tan(x))}{dx}=\frac{\cos(x)}{\cos(x)}+\sin(x)\frac {\sin(x)}{\cos^2(x)}=1+\tan^2(x)
</math>
==Funciones trigonométricas inversas==
Línea 174 ⟶ 173:
Por definición de arcoseno:
:<math>
\ asinarcsin(\sin(t))=t
</math>
Efectuando el cambio de variable <math> x=sin(t) </math>, derivando respecto a ''t'' y aplicando la regla de la cadena tenemos:
:<math>
\frac{d(asin\arcsin(x))}{dt}=\frac {d(asin\arcsin(x))}{dx}\frac{dx}{dt}=1
</math>
Teniendo en cuenta que:
:<math>
\frac{dx}{dt}=\cos(t)=\sqrt{1-\sin^2(t)}=\sqrt{1-x^2}
</math>
Sustituyendo
:<math>
=\frac {d(asin\arcsin(x))}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
</math>
===Arcocoseno===
Por definición de arcocoseno:
:<math>
\ acosarccos(\cos(t))=t
</math>
De nuevo efecttuando el cambio de variable <math> x=cos(t) </math>, derivando respecto a ''t'' y aplicando la regla de la cadena tenemos:
:<math>
\frac{d(acos\arccos(x))}{dt}=\frac {d(acos\arccos(x))}{dx}\frac{dx}{dt}=1
</math>
Análogamente (en este caso hemos de coger la raiz negativa para conservar el signo):
:<math>
\frac{dx}{dt}=-\sin(t)=-\sqrt{1-\cos^2(t)}=-\sqrt{1-x^2}
</math>
Sustituyendo
:<math>
\frac {d(acos\arccos(x))}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
</math>
===Arcotangente===
Por definición de arcotangente:
:<math>
\ atanarctan(\tan(t))=t
</math>
Efectuando el cambio de variable <math> x=tan(t) </math>, derivando respecto a ''t'' y aplicando la regla de la cadena tenemos:
:<math>
\frac{d(atan\arctan(x))}{dt}=\frac {d(atan\arctan(x))}{dx}\frac{dx}{dt}=1
</math>
Teniendo en cuenta que:
:<math>
\frac{dx}{dt}=1+\tan^2(t)=1+x^2
</math>
Sustituyendo
:<math>
\frac {d(atan\arctan(x))}{dx}=\frac{1}{1+x^2}
</math>
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