Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Bachillerato LOGSE/Álgebra»

<math>ax^2+bx=0 \rightarrow x(ax+b)=0 \rightarrow x=0\ \ x = \frac{-b}{a}</math>

 

Son ecuaciones de cuarto grado pero tienen una característica que las hace especiales: no tienen terminos de grado impar, es decir son de la forma <math>ax^4 + bx^2 +c = 0\,\!</math>

 

La resolvemos, y entonces desechamos las <math>y<0\,\!</math> ya que no dan solución en las <math>x\,\!</math> pero las positivas nos daran dos valores de <math>x\,\!</math> <math>x=\pm \sqrt{y}</math>

 

<math>x^4 - 7x^2 + 6 = 0 \rightarrow \left \{ x^2=y \right \} y^2-7y+6</math>

 

Soluciones: <math>0,\, -3,\, 3\,\!</math>

 

Hay veces que nos encontraremos con ecuaciones que tienen la x dentro de raices cuadradas para solucionarlas hay que aislar las raices una a una e ir elevando al cuadrado para eliminarlas.

 

Al elevar al cuadrado y buscar la solución aparecen soluciones debidas al proceso (de elevar al cuadrado para eliminar las raíces) estas soluciones son erroneas y hay que rechazarlas. Hay que hacer la comprobación en la ecuación inicial '''siempre''' para detectar las soluciones erroneas.

 

<math>\sqrt{3x-5} +1=x</math>

 

Comprobación <math>\begin{cases} x_1=2 \rightarrow \sqrt{2 \cdot 2 -3} \sqrt{2+7}=\sqrt{1}+\sqrt{9} = 1+3=4 \ \mbox{valida} \\ x_2=114 \rightarrow \sqrt{2 \cdot 114 - 3} + \sqrt{114+7}=15+11 \ne 4 \ \mbox{no valida} \end{cases}</math>

 

La motivación de este apartado es la misma que la que se podría encontrar para la factorización de números; factorizar un número cualquiera es muy útil para calcular el mcm y el MCD además de para simplificar fracciónes o sacar factores de un radical. Factorizar polinomios nos servirá para simplificar fracciones algebraicas, hacer el mcm y el MCD de los polinomios, que también los tiene, y si alguno va a la universidad le serán muy útiles (por ejemplo para hacer transformadas). El concepto fundamental para factorizar polinomios es el de ''polinomio irreducible'', esto es en el cuerpo de los números reales, un polinomio sin raíces reales. Se puede comprobar (con ayuda del cálculo diferencial, por ejemplo) que cualquier polinomio de grado impar tiene al menos una raíz real, por tanto los polinomios irreducibles han de ser de grado par. Aplicando razonamientos sencillos con números complejos se puede deducir, además, que cualquier polinomio de grado par se puede expresar como producto de polinomios de grado dos. Por tanto, los polinomios irreducibles son los de primer grado y los de segundo grado cuyo discriminante es negativo. Tenemos así determinados los equivalentes a los números primos en el caso de los enteros, en el conjunto de los polinomios con coeficientes reales de variable real.

 

En el ejemplo <math>(x-2)x^3(x+3)(x^2+4x+5) \rightarrow 2,\ -3\,\!</math> y <math>0\,\!</math> serían raíces del polinomio.

 

Los polinomios de segundo grado <math>ax^2+bx+c\,\!</math> se pueden factorizar de esta manera (teniendo en cuenta que tendrá como máximo 2 raíces reales):

* Si el polinomio tiene dos raices <math>x_1\,\! y x_2\,\!</math> entonces <math>ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)\,\!</math>

<math>x^2+4x+5\,\!</math>

 

Imaginemos que queremos factorizar un polinomio de la forma <math>P(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} +...+a_2x^2+a_1x+a_0\,\!</math>

Para hacerlo no tenemos la ayuda de una fórmula general como en el caso de los polinomios de 2º grado, para hacerlo no queda más remedio que ir encontrando las raíces una a una:

Para hacerlo más cómodo se emplea la regla de Ruffini.yii

 

Seguramente esto ya se ha visto anteriormente, por lo que aquí solamente lo refrescaremos.

 

El resultado significa que el cociente de la división <math>C(x)=7x^3+9x^2+14x+34\,\!</math> y el resto es <math>67\,\!</math>

 

 

Este resultado se puede extender a polinomios de grado cualquiera.

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Tenemos un polinomio <math>P(x)\,\!</math> con raíces entera y queremos encontrarlas, para hacerlo tenemos que ir probando de dividirlo por <math>x-a\,\!</math>, pero ¿qué valor puede tomar <math>a\,\!</math>? pues tiene que ser un divisor del termino independiente.

 

 

Para factorizar un polinomio aplicaremos Ruffini sucesivamente hasta que nos quede un polinomio de segundo grado, cuando estemos en este punto aplicaremos la fórmula y obtendremos las dos últimas raíces o si <math>b^2-4ac\,\!</math> es negativo sabremos que no lo podemos descomponer más

 

 

* Ya hemos descompuesto el polinomio. Ya que todos los factores son de primer grado

Cuando un polinomio esta factorizado podemos encontrar las raíces facilmente, es decir podemos resolver ecuaciones de grado n.

 

'''Ejemplos'''

 

 

 

 

 

Aunque durante los dos últimos apartados se ha presentado los polinomios como fácilmente factorizables, no es así. Como norma general la raíz de un polinomio es un número no entero, 0,3242 por ejemplo, para encontrar estas raíces tiene que hacerse lo siguiente:

Las soluciones racionales de una ecuación polinómica con coeficientes enteros se encuentran entre los números <math>p/q</math> donde p es uno de los divisores del término independiente y q uno de los divisores del coeficiente director.

Aun con esto muchas veces tampoco podremos encontrar las soluciones de un polinomio como <math>x^4 +7x^3+27x^2+55x +50\,\!</math> ya que se trata de soluciones irracionales a las que solo nos podemos aproximar, o soluciones de números complejos

 

 

Una fracción algebraica es un cociente entre dos polinomios de la forma <math>\frac{P(x)}{Q(x)}</math> y funcionan casi igual que las numéricas.

 

 

Al igual que con las numéricas podemos dividir el denominador y el numerador por el mismo polinomio y de esta manera simplificarla.

<math>\frac {5x^3+2x^2+3x}{7x^2+3x}= \frac {(5x^2+2x+3) \cdot x}{(7x+3)x}=\frac {(5x^2+2x+3)}{(7x+3)}</math>

 

Son aquellas que al simplificarse dan la misma fracción o aquellas que al dividirlas entre si dan como resultado 1

 

<math>\frac {x}{2x^2+5x}</math> y <math>\frac{x-3}{2x^2-x-15}</math> són equivalentes ya que las dos dan 1 al dividirse entre si o también se puede ver porque al simplificarse las dos dan <math>\frac{1}{2x+5}</math>

 

Supongamos que queremos sumar

 

<math>=\frac {(4x^3+-8x^2+3x-6) + (2x^2-x-15)x}{x(x-2)}</math>

 

'''Ejemplo:'''

 

<math>\frac{x-3}{x+5} : \frac{x-1}{x+2}=\frac{(x-3)(x+2)}{(x+5)(x-1)}=\frac{x^2-x-6}{x^2+4x-5}</math>

 

 

 

Las ecuaciones exponenciales son las que tienen la incógnita en el exponente. Para sacarlo de allí hay que expresar lado y lado del igual con una potencia de la misma base y si esto no se puede hacer entonces se recurre a los logaritmos, aun así hay algunas en las que deberemos usar el ingenio y otras (aunque aquí no veremos ninguna) no se pueden resolver analíticamente.

<math>y^2-12y+27=0 \begin{cases} y=3 \rightarrow 3^x=3 \rightarrow x=1\\ y=9 \rightarrow 3^x=9 \rightarrow x=2 \end{cases}</math>

 

 

Son las que tienen la x dentro de un logaritmo. Para resolverlas uno debe coger las propiedades de los logaritmos y utilizarlas para resolver la ecuación, muchas veces (aunque no veremos ninguna) no se pueden resolver analiticamente. Hay que comprobar la ecuación inicial

Nota curiosa: Fijemonos que si la ecuación inicial hubiese sido <math>\log x^2= \log(x+2)\,\!</math> las dos soluciones serían correctas.

 

Se supone que el alumno ya está familiarizado con los sistemas de ecuaciones, por eso simplemente repasaremos los procedimientos y unos cuantos conceptos.

 

* Un sistema de ecuaciones con más incognitas que ecuaciones suele tener infinitas soluciones

 

 

<math>\begin{cases} x+2y = -13 \\ \sqrt{3x+2y}=x-8 \end{cases}</math>

<math>2x^2=12x-16 \rightarrow 2x^2-12x-16=0 \rightarrow \begin{cases} x_1=2 \rightarrow y_1 = 8 \\ x_2 = 4 \rightarrow y_2=32 \end{cases}</math>

 

 

El método de Gauss consiste en convertir un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas en un sistema con una 1ª ecuación de tres incógnitas, una 2ª ecuación de dos incógnitas y, por último una 3ª ecuación de solo una incógnita. Por lo que se reduce sustancialmte la dificultad del problema.

Ahora la resolución del sistema se convierte en una trivialidad. De la 3ª ecuación obtenemos z=2, que introducimos en la 2ª ecuación para hallar y=5, y por último introducimos z e y en la 1ª ecuación para hallar x=-1.