Diferencia entre revisiones de «Mecánica cuántica/Pozo de potencial infinito»

Contenido eliminado Contenido añadido
Lluvia (discusión | contribs.)
anotación sobre la probabilidad de encontrar una particula independientemente del sistema de coordenadas
Línea 5:
 
== Resolución del caso general unidimensional ==
=== Planteamiento de la ecuación de Schödinguer independiente del tiempo ===
[[File:Infinite potential well-en.svg|thumb|Pozo de potencial infinito (o caja) unidimensional de anchura L con la primera pared en x=0.]]
Un pozo de potencial infinito, en general, tiene la pared izquierda en un punto ''x=a'' y la derecha en ''x=b'', ''(a<b)''. Esta información es equivalente a decir que la pared izquierda se encuentra en el punto ''a'' y que el pozo tiene anchura ''L''. La relación entre ambas, claramente, es ''L=b-a''. Normalmente, cuando se plantea este problema se deja como variable únicamente la anchura del potencial, pero no su posición en el eje de coordenadas, a menudo impuesta por el enunciado del problema. En tal caso, las dos opciones por excelencia son que el pozo se encuentra centrado en el origen, con la pared izquierda en ''x=-L/2'' y la derecha en ''x=L/2'', o bien que tiene una pared en ''x=0'' y otra en ''x=L''.
Línea 35 ⟶ 36:
 
<math>\omega^2 = \frac{2mE}{\hbar^2}.</math>
 
=== Obtención de las energías accesibles al sistema ===
 
Impongamos la primera condición, <math>\Psi(a)=0</math>
Línea 70 ⟶ 73:
[[File:Infinite well energies.jpg|thumb|Representación de las energías accesibles para la partícula en el pozo de potencial infinito. Solo ciertos valores dibujados con líneas horizontales están permitidos. Como se observa, la diferencia entre energías posibles es cada vez mayor. Esto es una consecuencia de que <math>E</math> es proporcional a <math>n^2</math>.]]
 
{{Caja|<math>E=\frac{\hbar \omega^2}{2m}=\frac{\hbar \pi^2}{2m(b-a)^2} k^2=\frac{\hbar \pi^2}{2mL^2} n^2,\, n\in \mathbf N^+.</math>}}
 
Nótese que para las energías solo tiene sentido considerar los números naturales en lugar de los enteros, puesto que ''-k'' y ''k'' definen la misma energía. Además '''hemos descartado el valor ''0''''' ya que como veremos más adelante su autofunción es nula.
 
=== Obtención de las autofunciones de onda ===
 
Veamos la forma que toma la función de onda
Línea 135 ⟶ 140:
La función de onda resulta
 
{{Caja|<math>\Psi(x) = \frac{e^{i\varphi}}{\sqrt{2L}}e^{i\frac{\pi k}{L} x}\left[1-e^{-i\frac{2\pi k}{L} (x-a)}\right], \quad k\in \mathbf Z-\{0\}.
</math>}}
 
Como se puede ver, la función de onda sí que depende directamente de en qué posición concreta se encuentra el origen del pozo (y también de la la anchura de este). Para dos pozos de las mismas características pero localizados en posiciones diferentes, será necesario utilizar funciones distintas para representar sus funciones de onda. Sin embargo, esto no quiere decir que la física del pozo de potencial sea distinta, sino que la expresión matemática de la función de onda debe ser escrita de acuerdo a la posición del pozo. Simplifiquemos los resultados obtenidos para ver qué ocurre en algunos casos particulares.
 
'''No consideraremos la autofunción con ''k=0'''' obtenemos la autofunción ''0'', cuya consecuencia es que es imposible encontrar la partícula en cualquier lugar de la caja, por lo que esta solución no la consideraremos, ni su respectiva energía asociada, que como vimos anteriormente es ''0''.
 
=== Casos particulares ===
 
Simplifiquemos los resultados obtenidos para ver qué ocurre en algunos casos particulares.
 
 
[[File:Infinite well.jpg|thumb|Infinite well]]
Línea 149 ⟶ 161:
\frac{e^{i\varphi}}{\sqrt{2L}}\left[2i\sin{\frac{\pi k}{L} x}\right] \\ & =
\frac{2e^{i\left(\varphi+\pi/2\right)}}{\sqrt{2L}}\sin\left(\frac{\pi k}{L} x\right) \\ & =
e^{i\left(\varphi+\pi/2\right)}\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left(\frac{\pi k}{L} x\right), \quad k\in \mathbf Z-\{0\}
\end{align}</math>
 
Línea 156 ⟶ 168:
{{Caja|<math>\text{ si } a=0 \text{ y } b=L: \quad \Psi(x)= \begin{cases}
0 & \text{si } x<0\\
\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left(\frac{\pi n}{L} x\right), \quad n\in \mathbf \mathbf N^+ & \text{si } 0<x<L\\
0 & \text{si } x>L
\end{cases}</math>}}
Línea 166 ⟶ 178:
\frac{e^{i\varphi}}{\sqrt{2L}}e^{i\frac{\pi k}{L} x}\left[1-e^{-i\pi k}e^{-i\frac{2\pi k}{L}x}\right]\\ & =
\frac{e^{i\varphi}}{\sqrt{2L}}\left[e^{i\frac{\pi k}{L} x}-e^{-i\pi k}e^{-i\frac{\pi k}{L}x}\right]\\ & =
\frac{e^{i\varphi}}{\sqrt{2L}}\left[e^{i\frac{\pi k}{L} x}-(-1)^k\cdot e^{-i\frac{\pi k}{L}x}\right], \quad k\in \mathbf Z-\{0\}
\end{align}</math>
 
Línea 184 ⟶ 196:
0 & \text{si } x<-\frac{L}{2}
\end{cases}
, \quad n\in \mathbf \mathbf N^+, \, \text{si } -\frac{L}{2}<x<\frac{L}{2}</math>
 
O, de otra forma,
Línea 190 ⟶ 202:
{{Caja|<math>\Psi(x) = \begin{cases}
0 & \text{si } x<-\frac{L}{2}\\
\left\{\sqrt{\frac{2}{L}}\cos \left(\frac{2n\pi}{L} x\right), \sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left(\frac{(2n+1)\pi}{L} x\right)\right\}, \, n\in \mathbf N^+ & \text{si } -\frac{L}{2}<x<\frac{L}{2}\\
0 & \text{si } x>\frac{L}{2}\\
\end{cases}