Diferencia entre revisiones de «Mecánica clásica/Mecánica analítica/Formulación Hamiltoniana»

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Línea 145:
donde <math>\varphi</math> es el vector de coordenadas o de variables dinámicas de nuestro sistema y <math>\partial_\varphi</math> es el operador gradiente con respecto a cada una de dichas coordenadas
 
<math>\varphi \, \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}
\begin{pmatrix}
q_1 \\
q_2 \\
Línea 154 ⟶ 155:
\vdots \\
p_n
\end{pmatrix} \equiv
\begin{pmatrix}
q \\
p
Línea 170 ⟶ 172:
\frac{\partial}{\partial p_n}
\end{pmatrix} \equiv
 
\begin{pmatrix}
\frac{\partial}{\partial q} \\
Línea 178 ⟶ 181:
Dicha ecuación matricial puede escribirse también para cada coordenada individualmente
 
<math>\dot \varphi_a = \Omega_omega_{ab}\, \partial_{\varphi_b} H</math>
 
donde en esta caso la derivada es simplemente una derivada parcial convencional. Cuando se utilizan <math>\varphi_a</math> concretos, es natural evitar notación numérica en los subíndices y hacer referencia a las coordenadas a las que se quiere hacer referencia, ya que es más intuitivo. Por ejemplo <math>\Omega_varphi_{abq_2}</math> seo correspondesimplemente con<math>q_2</math>. Si se elrecuerdan elementolas adecuadoecuaciones de laHamilton matrizes inmediato dar los valores adecuados a <math>\OmegaOmega_{ab}</math>.:
 
Cuando se sustituyen valores concretos en <math>\varphi</math>, es natural evitar notación numérica en los subíndices y hacer referencia a las coordenadas de las que se trata, ya que así es mucho más intuitivo. Si tenemos ''2f'' coordenadas canónicas (incluyendo ''q''s y ''p''s)
 
<math>
\begin{cases}
\Omega_{q_i p_i}=1\\
\Omega_{a b}=1 &\mbox{ si } a=b+f \mbox{ (a hace referencia a una coordenada y b a su momento conjugado)} \\
\Omega_{p_i q_i}=-1\\
\Omega_{a b}=-1 &\mbox{ si } b=a+f \mbox{ (a hace referencia a un momento y b a su coordenada conjugada)}\\
\Omega_{a b}=0\, &\mbox{ ensi otro} caso (a \mbox{ hace referencia a una coordenada canónica y } b \mbox{ a otra que no es su conjugada).}
\end{cases}.</math>
 
De esta forma recordamos fácilmente las ecuaciones de Hamilton tanto en forma matricial como coordenada a coordenada.
 
En el caso de un grado de libertad, se escribe simplemente: