Diferencia entre revisiones de «Mecánica clásica/Mecánica analítica/Formulación Hamiltoniana»

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olvidado incluir las derivadas parciales de H con respecto a las variables en las ecuaciones de Hamilton mediante la matriz simplectica
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Línea 80:
 
que se conocen como las '''ecuaciones canónicas de Hamilton'''<ref name="Legendre Transformations and Hamilton"/>. ''Arreglar: Como se han presentado, parecería que dichas ecuaciones son un simple resultado matemático, cuando en realidad han de suponerse para establecer las bases de la mecánica.''
 
== La matriz simpléctica ==
 
Las dos primeras ecuaciones se pueden escribir por medio de la matriz simpléctica <math>\Omega=\bigl( \begin{smallmatrix}\mathbf 0 & \mathcal I \\- \mathcal I & \mathbf 0 \end{smallmatrix} \bigl)</math>.
Línea 115 ⟶ 117:
\vdots \\
\frac{\partial H}{\partial p_n}
\end{pmatrix} =
</math>
 
o de forma más comapcta (usando q y p como vectores)
 
<math>
\endbegin{pmatrix}
q\\
p
\end{pmatrix} =
 
\begin{pmatrix}
Línea 123 ⟶ 134:
 
\begin{pmatrix}
\frac{\partial H}{\partial q_1q} \\
\frac{\partial H}{\partial q_2p} \\
\end{pmatrix}.
\vdots \\
\frac{\partial H}{\partial q_n}\\
\frac{\partial H}{\partial p_1}\\
\frac{\partial H}{\partial p_2} \\
\vdots \\
\frac{\partial H}{\partial p_n}
\end{pmatrix}
</math>
 
De manera muy compacta y agradable a la vista y a la memoria se puede escribir como
 
<math>\dot \varphi = \frac{Omega\partial H}{\partial \varphi} \equiv, \partial_{\varphi} H</math>
 
donde <math>\varphi</math> es el vector de coordenadas o de variables dinámicas de nuestro sistema y <math>\partial_\varphi</math> es el operador gradiente con respecto a cada una de dichas coordenadas
Línea 149 ⟶ 154:
\vdots \\
p_n
\end{pmatrix} \equiv
q \\
p
\end{pmatrix}, \quad
 
\frac{\partial}{\partial partial_\varphi} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial}{\partial q_1} \\
Línea 161 ⟶ 169:
\vdots \\
\frac{\partial}{\partial p_n}
\end{pmatrix} \equiv
\begin{pmatrix}
\frac{\partial H}{\partial q_nq} \\
\frac{\partial H}{\partial p_1p}\\
\end{pmatrix}.
</math>
 
Dicha ecuación matricial puede escribirse también para cada coordenada individualmente
 
<math>\dot \varphi_a = \Omega_{ab}\, \partial_{\varphi_b} H</math>
 
donde en esta caso la derivada es simplemente una derivada parcial convencional y <math>\Omega_{ab}</math> se corresponde con el elemento adecuado de la matriz <math>\Omega</math>.
 
Cuando se sustituyen valores concretos en <math>\varphi</math>, es natural evitar notación numérica en los subíndices y hacer referencia a las coordenadas de las que se trata, ya que así es mucho más intuitivo. Si tenemos ''2f'' coordenadas canónicas (incluyendo ''q''s y ''p''s)
 
<math>
\begin{cases}
\Omega_{a b}=1 &\mbox{ si } a=b+f \mbox{ (a hace referencia a una coordenada y b a su momento conjugado)} \\
\Omega_{a b}=-1 &\mbox{ si } b=a+f \mbox{ (a hace referencia a un momento y b a su coordenada conjugada)}\\
\Omega_{a b}=0 &\mbox{ en otro caso (a hace referencia a una coordenada canónica y b a otra que no es su conjugada)}
\end{cases}.</math>
 
En el caso de un grado de libertad, se escribe simplemente: