Revisión del 00:50 3 jun 2012 editar Proferichardperez (discusión \| contribs.) Autoverificados 4193 ediciones se extiende artículo ← Edición anterior		Revisión del 01:30 3 jun 2012 editar deshacer Proferichardperez (discusión \| contribs.) Autoverificados 4193 ediciones se agregan definiciones y proposiciones Edición siguiente →
Línea 25: TEOREMA DE EULER - En cualquier poliedro convexo, el número de caras más el número de vértices es igual al de aristas más dos. (caras + vértices = aristas + 2). [[Apuntes matemáticos/Definiciones/Teorema 1\|TEOREMA DE BRIANCHON]] - Las diagonales de un hexágono circunscrito a una cónica se cortan en un punto.▼ ~~TEOREMA DE BRIANCHON~~ [[Apuntes matemáticos/Definiciones/Teorema 2\|TEOREMA DE PASCAL]] - Cualquier hexágono inscrito en una circunferencia, los puntos de intersección de los lados opuestos están en línea recta.▼ ~~Eel teorema de Brianchon se debe a Charles Julien Brianchon (1783-1864) y afirma que:~~ ▲Las diagonales de un hexágono circunscrito a una cónica se cortan en un punto. ==POSTULADO== ~~La siguiente figura muestra una elipse inscrita en un hexágono. Al punto común a las tres diagonales, coloreado en rojo en la figura, se le conoce con el nombre de punto de Brianchon~~ Postulado es una proposición que se admite sin demostración, aunque sin la evidencia del axioma. Por ejemplo: Por un punto exterior a una recta sólo se puede dibujar una sola paralela a la recta. ==LEMA== Lema es un teorema preliminar que sirve de base para demostrar otras proposiciones. ==COROLARIO== ~~casos límite:~~ Corolario o consecuencia es un teorema la verdad del cual se deduce simplemente de otro ya demostrado. == ESCOLIO == ~~Haciendo coincidir dos lados consecutivos del hexágono en uno solo y sustituyendo el vértice desaparecido por el punto de contacto, obtenemos que~~ Escolio es una advertencia o nota que se hace a fin de aclarar, ampliar o restringir proposiciones anteriores. ==PROBLEMA== * En todo pentágono circunscrito a una cónica, la recta que une un vértice con el punto de contacto del lado opuesto, y las diagonales que unen los otros vértices no consecutivos, son tres rectas que concurren en un mismo punto. Problema es una cuestión que se propone con la finalidad y ánimo de aclararla o resolverla utilitzando una metodología determinada. [[Apuntes matemáticos/Definiciones/Problema 1\|PROBLEMA DE APOLONIO]] - Dados tres objetos que pueden ser, cada uno de ellos, puntos, rectas o circunferencias, dibujar una circunferencia tangente a las tres. ~~Aplicando el mismo procedimiento, podemos obtener que:~~ == ALGORITMO DE EUCLIDES== * En todo cuadrilátero circunscrito a una cónica, si se toman los puntos de contacto de dos lados que se cortan en un vértice, la recta de unión de este con su opuesto y las de unión de los puntos de contacto con los otros dos vértices son tres rectas que concurren en un mismo punto. Euclides fue un gran matemático y filósofo de la antigüedad. ~~O también,~~ Ideó un procedimiento para obtener el máximo común divisor (MCD) de dos números. Dados dos números enteros A y B se divide el mayor entre el más pequeño. Si el resto R de la división es 0, el divisor B es el MCD, en caso contrario, B se convierte en dividendo y R en divisor. Volvemos a hacer la división, si el resto de esta nueva división es 0, el divisor R es el MCD, en caso contrario, el divisor se convierte en dividendo y el resto de la división en divisor, y volvemos a hacer la división. Haciendo esto sucesivamente encontraremos alguna vez resto 0, en este momento, el divisor de la división será el MCD. * En todo cuadrilátero circunscrito a una cónica, las dos diagonales y las rectas que unen los puntos de contacto de lados opuestos son cuatro rectas que concurren en un punto. El fichero de entrada contendrá los dos números enteros y el archivo de salida contendrá el MCD. ~~Por último,~~ * En todo triángulo circunscrito a una cónica, las rectas que unen los vértices con los puntos de contacto de los lados opuestos son tres rectas que concurren en un punto. == Eje Radical de dos circunferencias== El eje radical de dos circunferencias no concéntricas está formado por los puntos cuya potencia es la misma respecto de las dos circunferencias. * Cuando las circunferencias no se cortan, una forma de dibujar el eje radical es dibujar dos circunferencias que corten a las dos circunferencias dadas y unir los puntos de intersección tal como se muestra en la figura. * Cuando las circunferencias son secantes, el eje radical es la recta que pasa por dos puntos de intersección. * Como caso límite de este último, si las circunferencias son tangentes, el eje radical será la perpendicular común a ambas circunferencias. == Centro radical de tres circunferencias == Dadas tres circunferencias, si dibujamos los ejes radicales de las circunferencias dos a dos, veremos que los tres ejes radicales se cortan en un punto, que se llama centro radical de las tres circunferencias. == Centros de Homotecia == Consideremos dos circunferencias no concéntricas, con centros P y Q. Dibujamos los radios paralelos PA y QB en el mismo sentido. Uniendo los extremos de los radios, es decir, mediante las rectas AB y PQ obtenemos el punto K, conocido como centro de homotecia externo de las dos circunferencias. Si dibujamos los radios PA y QC, a uno y los extremos AC y PQ obtenemos el punto H, conocido como centro de homotecia interno de las dos circunferencias. ~~TEOREMA DE PASCAL~~ ~~TEOREMA DE PASCAL~~ == Circunferencia de los 9 puntos == ▲Cualquier hexágono inscrito en una circunferencia, los puntos de intersección de los lados opuestos están en línea recta. ~~El teorema de Pascal, descubierto por Blaise Pascal (1623-1662) la edad de 16 años se refiere a puntos alineados:~~ ~~Si los 6 vértices de un hexágono están situados en una cónica y los tres pares de lados opuestos se cortan,~~ ~~entonces los puntos de intersección están alineados.~~ ~~En la recta que contiene los tres puntos de intersección se la conoce como recta de Pascal.~~ ~~A continuación ver cómo se cumple el teorema de Pascal en una elipse y en una parábola.~~ La circunferencia de los 9 puntos de un triángulo, llamada así por JV Poncelet, queda definida por el siguiente teorema: * En cualquier triángulo, los pies de las tres alturas, los puntos medios de los lados y los puntos medios de los segmentos que unen los vértices con el ortocentro, están en una misma circunferencia, el radio de la que es la mitad del radio de la circunferencia circunscrita. En la circunferencia de los 9 puntos se la conoce también ~~Este teorema puede demostrarse mediante el teorema de Menelao.~~ como circunferencia de Euler (Leonhard Euler, 1707-1783) ~~El teorema dual del teorema de Pascal es el teorema de Brianchon.~~ o circunferencia de Feuerbach (Karl Feuerbach, 1800 a 1834). ~~El teorema de Pascal no termina ahí. Porque dados 6 puntos, no podemos encontrar sólo una recta de Pascal.~~ A partir de 6 puntos es posible considerar 60 hexágonos diferentes, que por el Teorema de Pascal dan lugar a 60 rectas de Pascal. Estas rectas pasan tres a tres por 20 puntos, llamados puntos de Steiner. Al mismo tiempo, estos 20 puntos están cuatro a cuatro en 15 rectas llamadas rectas de Plücker. Las rectas de Pascal también se cortan tres a tres en otro conjunto de puntos, llamados puntos de Kirkman, de los cuales hay 60. Asociado a cada punto de Steiner hay tres puntos de Kirkman de tal manera que los cuatro están en una recta, llamada recta de Cayley. En total hay 20 rectas de Cayley, que concurren cuatro a cuatro en 15 puntos, llamados puntos de Salmon. En la siguiente figura, en la que hemos dibujado el triángulo ABC, las alturas AA ', BB' y CC 'se cortan en el ortocentro H y P, Q y R son los puntos medios de los lados AB, BC y CA. Asimismo, U, V y W son los puntos medios de los segmentos AH, BH y CH. La circunferencia de los 9 puntos está dibujada en rojo. ~~Casos límite~~ En esta figura podemos observar algunas propiedades. Por ejemplo, * El teorema de Pascal admite casos límite haciendo coincidir dos vértices seguidos del hexágono y sustituyendo el lado correspondiente por la recta tangente por el punto correspondiente. * El centro N de la circunferencia de los 9 puntos está situado en la recta de Euler, equidistante del ortocentr H y del circuncentre O. ~~Por ejemplo,~~ Recordemos que la recta de Euler contiene al ortocentro, baricentro y circuncentro de cualquier triángulo. * En cualquier pentágono inscrito en una cónica, el punto común a la tangente por un vértice y el lado opuesto, y los puntos de intersección de los otros lados no consecutivos, son tres puntos alineados. == Árbelos == ~~En la figura, la recta tangente (de color rojo) a uno de los puntos ha sustituido a uno de los lados del hexágono.~~ El Arbelos es una figura que se obtiene quitando a un semicírculo de diámetro AB los semicírculos de diámetros AC y CB, asiento C un punto intermedio entre A y B. El nombre de Arbelos viene del griego y quiere decir cuchillo de zapatero. Esta figura fue estudiada por Arquímedes (287-221 aC). Muchas propiedades del Arbelos aparecen en su Libro de los Lemas (Liber Assumptorum). ~~Para un cuadrilátero podemos expresar:~~ == Potencia de un punto respecto de una circunferencia == * En cualquier cuadrilátero inscrito en una cónica, si se dibujan tangentes en vértices extremos de un lado, el punto de intersección de este con su opuesto y los puntos de intersección de cada una de las tangentes con el lado que pasa por el punto de contacto del otro, son tres puntos en línea recta. Si desde un punto P trazamos una secante a una circunferencia C con centro O, que corta a la circunferencia en los puntos A y B, el producto PA · PB se mantiene constante independientemente de la secante dibujada. A este producto se le llama potencia del punto P respecto de la circunferencia C. ~~O también:~~ Llamando a la distancia del punto P al centro O ir al radio de la circunferencia, se obtiene, si P es exterior a la circunferencia, * En cualquier cuadrilátero inscrito en una cónica, los puntos de intersección de los lados opuestos y los de intersección de tangentes en vértices opuestos son cuatro puntos en línea recta. Puede (P, C) = d2 - r2 mientras que si P es interior: ~~Por último, para un triángulo:~~ Puede (P, C) = r2 - d2 * En cualquier triángulo inscrito en una cónica, los puntos de intersección de los lados con las tangentes dibujadas pasando por los vértices opuestos, son tres puntos en línea recta.

Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Definiciones»