Diferencia entre revisiones de «Mecánica cuántica/Pozo de potencial infinito»
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Línea 70:
[[File:Infinite well energies.jpg|thumb|Representación de las energías accesibles para la partícula en el pozo de potencial infinito. Solo ciertos valores dibujados con líneas horizontales están permitidos. Como se observa, la diferencia entre energías posibles es cada vez mayor. Esto es una consecuencia de que <math>E</math> es proporcional a <math>n^2</math>.]]
{{Caja|<math>E=\frac{\hbar \omega^2}{2m}=\frac{\hbar \pi^2}{2m(b-a)^2} k^2=\frac{\hbar \pi^2}{2mL^2} n^2,\, n\in \mathbf N.</math>}}
Nótese que para las energías solo tiene sentido considerar los números naturales en lugar de los enteros, puesto que ''-k'' y ''k'' definen la misma energía.
Línea 128:
La función de onda resulta
{{Caja|<math>\Psi(x) = \frac{e^{i\varphi}}{\sqrt{2L}}e^{i\frac{\pi k}{L} x}\left[1-e^{i\frac{2\pi k}{L} (a-x)}\right], \quad k\in \mathbf Z.
</math>}}
Como se puede comprobar, el módulo cuadrado de la función de onda es independiente del origen del pozo de potencial, es decir, de cuál sea el punto ''a'', aunque sí depende de la anchura del pozo, ''L''. Por el contrario, la función de onda sí que depende directamente de en qué posición concreta se encuentra el origen del pozo (y también de la la anchura de este). Esto quiere decir que, para dos pozos de las mismas características pero localizados en posiciones diferentes, será necesario utilizar funciones distintas para representar sus funciones de onda. Sin embargo, esto no quiere decir que la física del pozo de potencial se distinta, sino que la expresión matemática de la función debe ser escrita de acuerdo a la posición del pozo. Simplifiquemos los resultados obtenidos para ver qué ocurre en algunos casos particulares.
Línea 144:
e^{i\left(\varphi+\pi/2\right)}\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left(\frac{\pi k}{L} x\right), \quad k\in \mathbf Z
\end{align}</math>
Descartando la fase, y con ella los valores de n negativos, obtenemos un resultado que puede encontrarse en cualquier libro de texto:
{{Caja|<math>\text{ si } a=0 \text{ y } b=L: \quad \Psi(x)= \begin{cases}
0 & \text{si } x<0\\
0 & \text{si } x>L
\end{cases}</math>}}
Si ''a=-L/2'' y ''b=L/2''
Línea 154 ⟶ 162:
\end{align}</math>
<math>\Psi(x) = \begin{cases}
Línea 160 ⟶ 168:
\frac{e^{i\varphi}}{\sqrt{2L}}\left[2i\sin\left( \frac{\pi k}{L} x\right)\right]= e^{i\left(\varphi+\frac{\pi}{2}\right)}\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left(\frac{\pi k}{L} x\right),&\quad \text{si } k \text{ impar} \\
\end{cases}</math>
De nuevo, si no estamos interesados en la fase, se obtiene:
<math>\text{ si } a=-\frac{L}{2} \text{ y } b=\frac{L}{2}: \quad \Psi(x)= \begin{cases}
0 & \text{si } x<-\frac{L}{2}\\
\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left(\frac{\pi n}{L} x\right),& \text{si } n \text{ impar}\\
0 & \text{si } x<-\frac{L}{2}
\end{cases}
, \
O, de otra forma,
{{Caja|<math>\Psi(x) = \begin{cases}▼
0 & \text{si } x<-\frac{L}{2}\\
\left\{\sqrt{\frac{2}{L}}\cos \left(\frac{2n\pi}{L} x\right), \sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left(\frac{(2n+1)\pi}{L} x\right)\right\}, \, n\in \mathbf N & \text{si } -\frac{L}{2}<x<\frac{L}{2}\\
0 & \text{si } x>\frac{L}{2}\\
\end{cases}
</math>}}▼
A estos mismos resultados se habría llegado si hubiéramos resuelto este problema usando una solución general de la forma
Línea 171 ⟶ 198:
* La solución particular que respeta las condiciones de contorno es (exactamente) la misma independientemente de la solución general de la que partimos.
Al ser el coseno una función par, ''-k'' ofrecerá exactamente la misma solución que ''k''. En el caso del seno, ''-k'' incrementará en <math>\pi</math> la fase. Teniendo esto en consideración, ya que la fase se encuentra indeterminada si no sabemos nada más sobre el sistema y, además, en muchos casos no tendrá ningunos efectos podemos descartarla
▲<math>\Psi(x) = \begin{cases}
▲ \sqrt{\frac{2}{L}}\cos \left(\frac{2n\pi}{L} x\right) \\
▲ \sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left(\frac{(2n+1)\pi}{L} x\right)
▲\end{cases} n\in \mathbf N, \,x\in \left[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}\right]
▲</math>
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