Diferencia entre revisiones de «Mecánica cuántica/Pozo de potencial infinito»

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== Introducción ==
El pozo de potencial infinito es un tópico en la mecánica cuántica, uno de los primeros problemas que se enseñan a los estudiantes de Física Cuántica. Enunciado de forma más intuitiva, este problema no es otra cosa que una partícula dentro de una caja para la que no actúa ninguna otra fuerza (como la gravedad) mas allá de las que ejercerán la paredes de la caja cuando cuando la partícula se acerque a ellas, haciendo imposible que se salga de la caja. El hecho de no haber considerado la gravedad o un modelo más realista de la fuerza (o, equivalentemente, del potencial del que deriva la fuerza) ejercida por las paredes tiene la única función de hacer el problema más sencillo de resolver; sin embargo, otro más realista llegará a conclusiones muy similares a las estudiada en este.
El pozo de potencial infinito es un tópico en la mecánica cuántica.
 
La solución de la ecuación de Schrödinguer (mediante la cual "habla" la teoría de la mecánica cuántica) a este problema nos mostrará, además de otras cosas más sutiles, que la partícula dentro de una caja no puede tener cualquier energía, sino que dichos valores posibles se encontran "cuantizados". Es decir, que el valor de la energía total que tiene la partícula no puede ser cualquiera, sino que siempre (que un observador lo mida) podrá únicamente tener determinados valores singulares que dependerán de las dimensiones de la caja, sin importar nada más.
 
== Resolución del caso general unidimensional ==
[[File:Infinite potential well-en.svg|thumb|InfinitePozo potentialde potencial infinito (o caja) unidimensional de anchura L con la primera pared well-en x=0.]]
Un pozo de potencial infinito, en general, tiene la pared izquierda en un punto ''x=a'' y la derecha en ''x=b'', ''(a<b)''. Esta información es equivalente a decir que la pared izquierda se encuentra en el punto ''a'' y que el pozo tiene anchura ''L''. La relación entre ambas, claramente, es ''L=b-a''. Normalmente, se resuelve este problema dejando como variable únicamente la anchura del potencial, pero no su posición. En efecto, a menudo se resuelve o bien considerando que el pozo se encuentra centrado en el origen, con la pared izquierda en ''x=-L/2'' y la derecha en ''x=L/2'' o bien que tiene una pared en ''x=0'' y otra en ''x=L''. Dichas elecciones, como veremos, tienen repercusión en la función de onda final. Por motivos didácticos, resolveremos el caso general y después veremos cómo influye la posición del pozo.
 
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Debemos coincidir por tanto que, para que tener una solución a la ecuación de Schödinguer con las condiciones de contorno impuestas por nuestro potencial, los valores de <math>\omega</math> necesariamente debe estar ''cuantizados''. Es decir, que solo puede tomar valores discretos y equi-espaciados <math>\pi/(b-a)</math> unidades, en vez de poder tomar cualquier valor en un intervalo determinado, como es el caso de la coordenada x, que puede tomar cualquier arbitrario entre ''a'' y ''b''. Como consecuencia de esto, las energías, autovalores del operador Hamiltoniano, también están ''cuantizadas''
 
[[File:Infinite well energies.jpg|thumb|Representación de las energías accesibles para la partícula en el pozo de potencial infinito. Solo ciertos valores dibujados con líneas horizontales están permitidos. Como se observa, la diferencia entre energías posibles es cada vez mayor. Esto es una consecuencia de que <math>E</math> es proporcional a <math>n^2</math>.]]
[[File:Infinite well energies.jpg|thumb|Infinite well energies]]
 
<math>E=\frac{\hbar \omega^2}{2m}=\frac{\hbar \pi^2}{2m(b-a)^2} k^2=\frac{\hbar \pi^2}{2mL^2} n^2,\, n\in \mathbf N.</math>
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* La solución particular que respeta las condiciones de contorno es (exactamente) la misma independientemente de la solución general de la que partimos.
 
Al ser el coseno una función par, ''-k'' ofrecerá exactamente la misma solución que ''k''. En el caso del seno, ''-k'' incrementará en <math>\pi</math> la fase. Teniendo esto en consideración, ya que la fase se encuentra indeterminada si no sabemos nada más sobre el sistema y, además, en muchos casos no tendrá ningunos efectos podemos descartarla escribir de manera más simple la solución a nuestro problema.
 
<math>\Psi(x) = \begin{cases}