Diferencia entre revisiones de «Mecánica clásica/Mecánica analítica/Formulación Hamiltoniana»
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El '''principio de Hamilton''' es otra hipótesis tal que de ella se derivan las leyes de la Mecánica Clásica, sin necesidad de nada más. El principio de Hamilton sostiene que
<math>\delta \left(\int dt \mathcal L(q, \dot q, t)\right)=0.</math>
Llamando
<math>p\equiv \partial_{\dot q} \mathcal L(q, \dot q, t)</math>
y definiendo <math>H(q,p)</math> como la transformada de Legendre de la función Lagrangiana con respecto a su variable <math>\dot q</math>
<math>H(q,p)=\dot q(p) \,p - \mathcal L(q,\,\dot q(p),\, t),</math>
desarrollamos la expresión anterior
<math>\begin{align}
0 & = \delta \int dt \mathcal L(q, \dot q, t)\\ &=
\delta \int dt \left[\dot q p - H(q, p, t) \right]\\ & =
\int dt \left[\delta (\dot q) p + \dot q \delta (p) - \partial_q H(q, p, t) \delta q - \partial_p H (q, p, t) \delta p \right]
\end{align}</math>
donde se ha aplicado que las variaciones no actúan sobre la variable tiempo. Por el mismo argumento, la variación entra dentro de la derivada temporal sin problemas. Aplicando esto y la regla de la derivada del producto podemos escribir el primer término como
<math>\delta(\dot q) p = \frac{d}{dt}\left(\delta q\right) p = \frac{d}{dt}\left[\delta(q)p\right] - \delta(q) \dot p</math>
Sustituyendo este término en nuestra ecuación
<math>\begin{align}
0 & =\int dt \left[\frac{d}{dt}\left[\delta (q) p\right] -\delta q \left(\dot p + \partial_q H\right) + \delta p \left(\dot q - \partial p H \right)\right] \\ & =
\left[ \delta(q)p \right]_{t_0}^{t_1} + \int dt \left[ -\delta q \left(\dot p + \partial_q H\right) + \delta p \left(\dot q - \partial p H \right)\right]
\end{align}</math>
Las variaciones, en particular la de ''q'', no dependen del tiempo por el principio variacional, por lo que el primer término se anula. Además, dado que ''q'' y ''p'' son independientes, sus variaciones también lo son. Esto implica que, para que la integral se anule siempre, sendos factores acompañando a \delta q y \delta p deben ser siempre nulos.
Así se obtienen las llamadas '''ecuaciones de Hamilton''':
<math>\begin{cases}
\dot q = \partial_p H(q, p, t)\\
\dot p = -\partial_q H(q, p, t)
\end{cases}</math>
== Otra derivación de las ecuaciones de Hamilton ==
Una vez definida la función Lagrangiana del sistema
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ya que el término <math>p_i dq_i\!</math> desaparece al realizar la ''transformada de Legendre''.
Para poder obtener <math>H=H(q, p, t)</math> a partir de <math>L=L(q, \dot q, t)</math>, es decir, para poder pasar de la ''Formulación Lagrangiana'' a la ''Formulación Hamiltoniana'', es necesario hacer uso del teorema de la función implícita, que determina cuándo se podrán expresar las velocidades generalizadas en términos de los momentos generalizados
<math>p_i\equiv\frac{\partial L(q_j, \dot q_j, t)}{\partial \dot q_i}\quad \longrightarrow \quad \dot q_j = \dot q_j(q_i, p_i, t).</math>
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