Diferencia entre revisiones de «Mecánica cuántica/Pozo de potencial infinito»
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Añadiendo correspondencia con el caso particular bien conocido a=0, b=L. Arreglando errores también. |
finalizando argumento de equivalencia entre pozo -L/2 +L/2 por medio de distintas soluciones generales. Falta comparar diferencias entre dicho pozo y el 0,L |
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Línea 135:
e^{i\left(\varphi+\pi/2\right)}\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left(\frac{\pi k}{L} x\right), \quad k\in \mathbf Z
\end{align}</math>
Si ''a=-L/2'' y ''b=L/2''
Línea 144 ⟶ 142:
\frac{e^{i\varphi}}{\sqrt{2L}}e^{i\frac{\pi k}{L} x}\left[1-e^{-i\pi k}e^{-i\frac{2\pi k}{L}x}\right]\\ & =
\frac{e^{i\varphi}}{\sqrt{2L}}\left[e^{i\frac{\pi k}{L} x}-e^{-i\pi k}e^{-i\frac{\pi k}{L}x}\right]\\ & =
\frac{e^{i\varphi}}{\sqrt{2L}}\left[e^{i\frac{\pi k}{L} x}-(-1)^k\cdot e^{-i\frac{\pi k}{L}x}\right], \quad k\in
\frac{e^{i\varphi}}{\sqrt{2L}}\left[2\cos\left( \frac{\pi k}{L} x\right)\right]\\ & =▼
e^{i\varphi}\sqrt{\frac{2}{L}}\cos \left(\frac{\pi k}{L} x\right), \quad k\in \mathbf N▼
\end{align}</math>
Es necesario separar los valores pares e impares de ''k'' para analizar las autofunciones en términos de senos y cosenos
<math>\Psi(x) = \begin{cases}
\frac{e^{i\varphi}}{\sqrt{2L}}\left[2\cos\left( \frac{\pi k}{L} x\right)\right]= e^{i\varphi}\sqrt{\frac{2}{L}}\cos \left(\frac{\pi k}{L} x\right),&\quad \text{si } k \text{ par} \\
\frac{e^{i\varphi}}{\sqrt{2L}}\left[-2i\sin\left( \frac{\pi k}{L} x\right)\right]= e^{i\left(\varphi-\frac{\pi}{2}\right)}\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left(\frac{\pi k}{L} x\right),&\quad \text{si } k \text{ impar} \\
\end{cases}</math>
A estos mismos resultados se habría llegado si hubiéramos resuelto este problema usando una solución general de la forma
<math>\Psi(x)=C\sin{\omega x}+D\cos{\omega x}.</math>
y hubiéramos impuesto desde el primer momento la localización del pozo en el eje X. De hecho, hubiera sido mucho más fácil que realizar todo el proceso anterior. Sin embargo, esto nos permite sacar en claro algunas conclusiones:
* El '''módulo''' de las constantes de normalización depende de las funciones elegidas para representar la solución.
* Si tenemos una autofunción y queremos expresarla en términos de otras funciones, tenemos que tener en cuenta que la '''fase''' en general también cambiará.
* La solución particular que respeta las condiciones de contorno es (exactamente) la misma independientemente de la solución general de la que partimos.
Al ser el coseno una función par, ''-k'' ofrecerá exactamente la misma solución que ''k''. En el caso del seno, ''-k'' incrementará en \pi la fase. Teniendo esto en consideración, ya que la fase se encuentra indeterminada si no sabemos nada más sobre el sistema y, además, en muchos casos no tendrá ningunos efectos podemos descartarla escribir de manera más simple la solución a nuestro problema.
<math>\Psi(x) = \begin{cases}
\end{cases} n\in \mathbf N, \,x\in \left[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}\right]
</math>
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