Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Geometría/Analítica en el plano/La Recta/Tres puntos alineados»
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=== Condición de alineación de tres puntos ===
Expresaremos algebraicamente la condición de alineación de tres puntos <math> P</math>(<math> x</math> , <math> y </math>), <math> P_1</math>(<math> x_1</math> , <math> y_1 </math>), <math> P_2</math>(<math> x_2</math> , <math> y_2 </math>) pertenecientes a una recta <math>\vec r </math> no paralela a ninguno de los ejes coordenados. Sean <math> P</math>', <math> P_1</math>' y <math> P_2</math>' las proyecciones ortogonales sobre el eje <math>\vec x </math> de los puntos <math> P</math>, <math> P_1</math> y <math> P_2</math>, y <math> P</math>", <math> P_1</math>" y <math> P_2</math>" las proyecciones ortogonales sobre el eje <math>\vec y </math> de los puntos <math> P</math>, <math> P_1</math> y <math> P_2</math>. Cada una de las proyecciones mencionadas tienen asociadas sus respectivas abscisas y ordenadas.
<br />
Como las rectas (<math> P</math><math> P</math>'), (<math> P_1</math><math> P_1</math>') y (<math> P_2</math><math> P_2</math>') son paralelas, podemos aplicar el teorema de Thales en las rectas secantes <math>\vec r </math> y <math>\vec x </math>
{| border=0 align=center
|<math>\frac{d(P,P_1)}{d(P,P_2)} = \frac{d(P',P'_1)}{d(P',P'_2)} \!</math>
|}
<br />
De igual forma, las rectas (<math> P</math><math> P</math>"), (<math> P_1</math><math> P_1</math>") y (<math> P_2</math><math> P_2</math>") son paralelas, entonces aplicando nuevamente el teorema de Thales en las rectas secantes <math>\vec r </math> y <math>\vec y </math> Resulta :
{| border=0 align=center
|<math>\frac{d(P,P_1)}{d(P,P_2)} = \frac{d(P'',P''_1)}{d(P'',P''_2)} \!</math>
|}
<br />
En consecuencia, aplicando la propiedad transitiva de la igualdad:
{| border=0 align=center
|<math>\frac{d(P',P'_1)}{d(P',P'_2)} = \frac{d(P'',P''_1)}{d(P'',P''_2)} \!</math>
|}
<br />
Considerando el orden de los puntos de la recta <math>\vec r </math>, se cumple que la proporción expresada anteriormente es igual a:
{| border=0 align=center
|<math>\frac{x-x_1}{x-x_2} = \frac{y-y_1}{y-y_2} \!</math>
|}
ya que cada uno de los componentes de la proporción es positivo, y en consecuencia coincide con la distancia. Sin embargo esta relación es válida independientemente de la ubicación de los puntos en la recta <math>\vec r </math>.
Si por ejemplo se ubican los puntos tal que P2< P< P1 la relación :
...quedará como ....
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