Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Matrices/Regla de Cramer»
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== Temas introductorios ==
[[Cramer, Gabriel|'''Biografía de Cramer''']]
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[[Matemáticas/Matrices/Regla de Cramer/Determinante|'''Determinante''']]
== Regla de Cramer ==
La regla de Cramer es un teorema en álgebra lineal, que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752), quien publicó la regla en su Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el método en su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729)
La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa: computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado en aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones.
''' Fórmulas explícitas para sistemas pequeños '''
== Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas ==
Para la resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, de la forma. Dado el sistema de ecuaciones:
{{ecuación|
<math>
\begin{cases}
a{\color{blue}x} + b{\color{blue}y} = {\color{red}e}\\
c{\color{blue}x} + d{\color{blue}y} = {\color{red}f}
\end{cases}
</math>
||left}}
Lo representamos en forma de matrices:
: <math>
\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
{\color{blue}x} \\
{\color{blue}y}
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
{\color{red}e} \\
{\color{red}f}
\end{bmatrix}
</math>
Entonces, <math>x</math> e <math>y</math> pueden ser encontradas con la regla de Cramer, con una división de [[determinante (matemáticas)|determinantes]], de la siguiente manera:
: <math>
x =
\frac {
\begin{vmatrix}
\color{red}{e} & b \\
\color{red}{f} & d
\end{vmatrix}
}{
\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix}
} =
\frac{
{\color{red} e } d - b {\color{red} f }
}{
ad - bc
}; \quad
y =
\frac {
\begin{vmatrix}
a & \color{red}{e} \\
c & \color{red}{f}
\end{vmatrix}
}{
\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix}
} =
\frac{
a{\color{red} f } - {\color{red} e } c
}{
ad - bc
}
</math>
== Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas ==
La regla para un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es similar, con una división de [[determinante (matemáticas)|determinantes]]:
{{ecuación|
<math>
\begin{cases}
a{\color{blue}x} + b{\color{blue}y} + c{\color{blue}z} = {\color{red}j}\\
d{\color{blue}x} + e{\color{blue}y} + f{\color{blue}z} = {\color{red}k}\\
g{\color{blue}x} + h{\color{blue}y} + i{\color{blue}z} = {\color{red}l}
\end{cases}
</math>
||left}}
Que representadas en forma de matriz es:
: <math>
\begin{bmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
{\color{blue}x} \\
{\color{blue}y} \\
{\color{blue}z}
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
{\color{red}j} \\
{\color{red}k} \\
{\color{red}l}
\end{bmatrix}
</math>
<math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> pueden ser encontradas como sigue:
: <math>
x =
\frac {
\begin{vmatrix}
{\color{red}j} & b & c \\
{\color{red}k} & e & f \\
{\color{red}l} & h & i
\end{vmatrix}
}{
\begin{vmatrix} a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{vmatrix}
}; \quad
y =
\frac {
\begin{vmatrix}
a & {\color{red}j} & c \\
d & {\color{red}k} & f \\
g & {\color{red}l} & i
\end{vmatrix}
}{
\begin{vmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{vmatrix}
} , \quad
z =
\frac {
\begin{vmatrix}
a & b & {\color{red}j} \\
d & e & {\color{red}k} \\
g & h & {\color{red}l}
\end{vmatrix}
}{
\begin{vmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{vmatrix}
}
</math>
| |||