Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Matrices/Multiplicar una matriz por un escalar»

Sean <math>A\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})</math> y <math>\lambda\in\mathbb{K}</math>. Se define la operación de '''producto por un escalar''' como una [[Función matemática|función]] <math>\mathbb{K}\times\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})\longrightarrow\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})</math> tal que <math>(\lambda,A)\mapsto B=\lambda A</math> y donde <math>b_{ij}=\lambda a_{ij}\,\!</math> en donde el producto es la operación binaria correspondiente pero en el [[Cuerpo (matemáticas)|campo]] <math>\mathbb{K}</math>. Por ejemplo, la entrada <math>b_{12}\,\!</math> es igual al producto <math>\lambda a_{12}\,\!</math>.

También es inmediato ver que el producto por un escalar da como resultado una matriz del mismo tamaño que la original. También el producto por un escalar dependerá de la [[Estructura algebraica|estructura algebraica]] en la que las entradas están. En el caso de que estén en un [[Cuerpo (matemáticas)|campo]] serán dos distributividades (una respecto de suma de matrices y otra respecto de suma en el campo), asociatividad y una propiedad concerniente al producto por el elemento neutro multiplicativo del campo. A continuación se presentan las propiedades.

Sean <math>A,B\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})</math> y <math>\lambda,\mu\in\mathbb{K}</math>, donde <math>\mathbb{K}</math> es un [[Cuerpo (matemáticas)|campo]], entonces se cumplen las siguientes propiedades para la operación producto por un escalar

Por como se definió la operación de producto por escalares se dice que <math>\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})</math> es cerrado bajo producto por escalares. Con éstas propiedades y las de la adición se tiene que <math>\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})</math> es un [[Espacio vectorial|espacio vectorial]] con las operaciones de suma y producto por escalares definidas antes.

En el caso de que las entradas y los escalares no estén en un [[Cuerpo (matemáticas)|campo]] sino en un [[Anillo (matemática)|anillo]] entonces no necesariamente existe el neutro multiplicativo. En caso de que exista, con lo cual el anillo es un '''anillo con uno''', se dice que <math>\mathcal{M}_{n\times m}(A)</math> es un módulo sobre <math>A\,\!</math>.

'''Demostración''' Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que como en un campo no hay [[Divisor de cero|divisores de cero]] entonces <math>\lambda(a_{ij})=0_{\mathbb{K}}</math> para todo <math>i,j\,\!</math> implica que <math>\lambda=0_{\mathbb{K}}</math> o <math>a_{ij}=0_{\mathbb{K}}</math>para todo <math>i,j\,\!</math>, i.e. <math>A=0\,\!</math>. No es posible un caso en el que sólo algunas entradas de la matriz sean cero y el escalar sea no nulo ya que en esos casos estaríamos diciendo que hay divisores de cero y llegaríamos a una contradicción, ya que la suposición es que las entradas y los escalares están en un campo.