Diferencia entre revisiones de «Física/Física avanzada/Teoría cuántica de campos/Introducción»
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Línea 11:
H=\sum_{i=1}^N\left(\frac{P_i^2}{2m}+\frac12m\omega_i^2X^2_i\right)=\sum_{i=1}^N\omega_i\left(a_i^\dagger a_i+\frac12\right)\,,
</math>}}
Cada oscilador tiene sus propios '''operadores escalera
{{ecuación|1=<math>\begin{align}
&a_i=\sqrt{\frac{m\omega_i}{2}}X_i+i\frac{P_i}{2m\omega_i}\,,\\
&[
\end{align}</math>}}▼
los cuales permiten diagonalizar el hamiltoniano total a la forma mostrada. El espectro de energías de este sistema es sencillo. Existe un estado fundamental |0⟩, con energía ''E''<sub>0</sub> = Σ<sub>''i''</sub> ''ω<sub>i''</sub>/2, aniquilado por cada operador de destrucción, ''a<sub>i''</sub> |0⟩ = 0. Cada operador de creación ''a<sub>i''</sub><sup>†</sup> produce un nuevo nivel con la energía aumentada en ''ω<sub>i''</sub>. La notación de '''números de ocupación''' o de segunda cuantización permite entonces visualizar todo el espectro como:
{{ecuación|1=<math>\begin{align}
&|\nu_1,\nu_2,...,\nu_N\rangle \propto (a^\dagger_{k_1})^{\nu_1}\cdot (a^\dagger_{k_2})^{\nu_2}\cdot\ldots\cdot(a^\dagger_{k_N})^{\nu_N}|0\rangle\\▼
&H|\nu_1,\nu_2,...,\nu_N\rangle = (\nu_1\omega_1+\ldots+\nu_N \omega_N+E_0)|\nu_1,\nu_2,...,\nu_N\rangle\,,
\end{align}</math>}}
donde los ''ν<sub>i''</sub> son enteros no negativos, ''ν<sub>i''</sub> = 0 ,1 , ... Llegado este punto, es evidente la analogía que existe entre este sistema, y otro dado por el siguiente hamiltoniano:▼
{{ecuación|1=<math>
H=\sum_i \omega_i n_i\,,▼
▲|\nu_1,\nu_2,...,\nu_N\rangle \propto (a^\dagger_{k_1})^{\nu_1}\cdot (a^\dagger_{k_2})^{\nu_2}\cdot\ldots\cdot(a^\dagger_{k_N})^{\nu_N}|0\rangle
</math>}}
donde ''n<sub>i''</sub> es un operador «número», actuando sobre una serie de estados |''ν''<sub>1</sub>, ..., ''ν<sub>N''</sub>⟩ de la forma:
▲Llegado este punto, es evidente la analogía que existe entre este sistema, y otro dado por el siguiente hamiltoniano:
{{ecuación|1=<math>
n_i|\nu_1,\nu_2,...,\nu_N\rangle = \nu_i |\nu_1,\nu_2,...,\nu_N\rangle
▲H=\sum_i \omega_i n_i\,,
</math>}}
=== Límite continuo en mecánica clásica ===
Para terminar de entender la equivalencia entre campo y colectivo de partículas, es necesario recordar cómo un campo puede expresarse como el '''límite continuo''' de un sistema de osciladores. Para ello, un ejemplo habitual es una varilla elástica capaz de vibrar longitudinalmente. A nivel microscópico, puede imaginarse que se trata de una «cadena» de partículas sobre una recta, espaciadas en equilibrio por una distancia ''a''; y capaces de vibrar dentro de la misma, sujetas a fuerzas elásticas entre ellas. El lagrangiano de este conjunto de partículas es:
{{ecuación|1=<math>
L=\sum_n\left\{\frac 12m \dot \chi_n^2-\frac 12K(\chi_{n+1}-\chi_n)^2\right\}\,,
Línea 34 ⟶ 44:
\chi_n\propto e^{ik na} e^{\pm i\omega_k t}
</math>|2=2}}
donde ''k'' es un «vector de onda» unidimensional, un número en el intervalo 0 < ''k'' ≤ 2''π''/''a'' (por ejemplo, ya que no hay diferencia física entre ''k'' y ''k'' + 2''π''/''a'')
{{ecuación|1=<math>
\omega_k=\sqrt{\frac{4K}{m}}\left|\sen\frac{ka}2\right|
</math>|2=3}}
Si se suponen condiciones de contorno periódicas para ''N'' de estos «átomos» —que simplifican el análisis y no afectan significativamente al contenido físico— entonces ''χ<sub>n''</sub> = ''χ<sub>n'' + ''N''</sub> y ''k'' sólo puede ser un múltiplo de 2''π''/''N·a''.
Esta descomposición en vibraciones colectivas fundamentales se hace más patente al reexpresar el lagrangiano en función de las ''coordenadas normales'':
{{ecuación|1=<math>\begin{align}
&\eta_k=\frac1{\sqrt{N}}\sum_{n=1}^N \chi_n e^{-ikna}\\
&L=\sum_{k
\end{align}
</math>|2=4}}
lo que requiere hacer uso de la identidad
{{ecuación|1=<math>
\sum_k e^{i k n a} = \left\{\begin{array}{l}0,\text{ si }n\neq N\\ N,\text{ si }n=N\end{array}\right.\,,
</math>}}
donde ''k'' recorre los posibles «vectores de onda»: 2''π''/''N a'', 4''π''/''N a'', ... , 2''π''/''a''.
{| align="center"
Línea 64 ⟶ 81:
L=\sum_{n=1}^N\left\{\frac 12m\dot\chi^2_n-\frac 12K(\chi_{n+1}-\chi_n)^2 \right\}=\sum_{n=1}^N a\left\{\frac 12\frac ma\dot\chi^2_n-\frac 12Ka\left(\frac{\chi_{n+1}-\chi_n}a\right)^2 \right\}\stackrel{a\to 0}{\longrightarrow}\int_0^l dx \left\{\frac 12 \mu \dot\chi^2-\frac 12Y\chi'^2\right\}\,,
</math>}}
de forma que resulta ser la integral de una densidad lagrangiana. Para que el límite tenga sentido
{{ecuación|1=<math>
\mu \ddot\chi-Y\chi''=0
</math>}}
Sus soluciones pueden a su vez descomponerse en
{{ecuación|1=<math>
\chi(x,t)\propto e^{ikx}e^{\pm i c_s|k|t}\,,
</math>}}
donde ''c<sub>s''</sub><sup>2</sup> = ''Y''/''μ'' es la velocidad del sonido. La expresión de estas ondas planas se obtiene
{{ecuación|1=<math>\begin{align}
&\eta(k,t)=\frac1{\sqrt{l}}\int_0^l e^{-ik x} \chi(x,t) dx\\
& L=\sum_{\frac{kl}{2\pi}\geq0}^\infty\left\{\frac 12\mu|\dot\eta(k,t)|^2-\frac 12\mu c_s^2k^2|\eta(k,t)|^2 \right\}\,,
\end{align}</math>}}
donde se han de usar las identidades:
{{ecuación|1=<math>
\int_0^l dx\,e^{ikx}=\left\{\begin{array}{l}0,\text{ si }k\neq 0\\l,\text{ si }k=0\end{array}\right.\text{ , }\sum_k e^{i k x}=l\delta(x-y)\,,
</math>}}
donde ahora ''k'' es un múltiplo entero de 2''π''/''l'', y δ(''x'' −''y'') es la delta de Dirac.
=== Límite continuo en mecánica cuántica ===
Línea 93 ⟶ 115:
Los operadores escalera tienen una expresión algo más complicada que en el caso de los osciladores desacoplados:
{{ecuación|1=<math>
a_k=\sqrt{\frac{m\omega_k}2}\eta_k+i\frac{\zeta_{-k}}{\sqrt{2m\omega_k}}=\sqrt{\frac{m\omega_k}{2N}}\sum_n e^{-ikna}\left(\chi_n+i\frac{\pi_n}{m\omega_k}\right)\text{ , }[a_k,a^\dagger_{k'}]=\delta_{kk'}\,,
</math>}}
{{ecuación|1=<math>
▲&[a_k,a_{k'}]=[a^\dagger_k,a^\dagger_{k'}]=0\text{ , }[a_k,a^\dagger_{k'}]=\delta_{kk'}\\
</math>}}
▲&H=\sum_{k}\omega_k\left(a^\dagger_ka_k+\frac12\right)
El espectro de la teoría es
▲\end{align}</math>}}
▲El espectro de la teoría es ahora fácil de analizar, pues esta forma del hamiltoniano es idéntica a un conjunto de osciladores desacoplados, uno por cada modo normal. Suponiendo un estado fundamental |0⟩ que es aniquilado por cada ''a<sub>k''</sub>, ''a<sub>k''</sub> |0⟩ = 0, el resto de niveles de energía se obtienen aplicando operadores de creación o subida ''a<sub>k''</sub><sup>†</sup> sobre este. La energía del estado (''a<sub>k''<sub>1</sub></sub><sup>†</sup>)<sup>''ν''<sub>1</sub></sup> (''a<sub>k''<sub>2</sub></sub><sup>†</sup>)<sup>''ν''<sub>2</sub></sup> ... |0⟩ es precisamente ''ω<sub>k''<sub>1</sub></sub> ''ν''<sub>1</sub> + ''ω<sub>k''<sub>2</sub></sub> ''ν''<sub>2</sub> + ... + ''E''<sub>0</sub>, donde la constante ''E''<sub>0</sub> = Σ<sub>''k''</sub> ω<sub>''k''</sub>/2 es la energía del nivel fundamental. Desde la perspectiva de los números de ocupación, puede hablarse de estados ''poblados'' por un cierto número de cuantos elementales de la vibración, denominados habitualmente [[w:fonón|fonones]]. En el formalismo de segunda cuantización es corriente describir un sistema en términos de estas [[w:cuasipartícula|cuasiparticulas]] o excitaciones colectivas, que se comportan como partículas individuales.
Desde la perspectiva de los números de ocupación, puede hablarse de estados ''poblados'' por un cierto número de cuantos elementales de la vibración, denominados habitualmente '''fonones'''. En el formalismo de segunda cuantización es corriente describir un sistema en términos de estas '''cuasiparticulas''' o excitaciones colectivas, que se comportan como partículas individuales. Por «partícula» se entiende «partícula cuańtica», es decir, deslocalizada. Los fonones no tienen una posición determinada, sino que se corresponden con un modo colectivo de vibración, parecido a un estado de momento definido para una partícula libre. Estos fonones tienen un comportamiento bosónico, al igual que en el modelo anterior, ya que puede haber un número arbitrario de ellos en cualquier nivel ''ω<sub>k''</sub>.
El espectro de energías del campo cuántico es por tanto el límite continuo de este sistema, y el proceso de cuantización puede repetirse
{{ecuación|1=<math>
H=\int_0^l dx\left(\frac1{2\mu}\pi(x)^2+\frac Y2\chi'(x)^2\right)\,,
</math>}}
siempre que el momento conjugado ''continuo'' se defina mediante el límite ''π<sub>n''</sub>/''a'' → ''π''(''x'') cuando ''a'' → 0. Esto resulta en que las relaciones de conmutación canónicas en el continuo presentan
{{ecuación|1=<math>
\frac{i\delta_{nm}}a=[\chi_n,\pi_m/a]\stackrel{a\to0}{\longrightarrow}[\chi(x),\pi(y)]=i\delta(x-y)\!
</math>}}
Los operadores creación y destrucción se definen entonces como:
Línea 118 ⟶ 141:
H=\sum_k c_s|k|\left(a_k^\dagger a_k+\frac12\right)
</math>}}
El espectro de la teoría está formado por estados con un número arbitrario de fonones. La energía ''c<sub>s''</sub> |''k''| de estos es arbitrariamente alta
== Bibliografía y referencias ==
Línea 126 ⟶ 149:
{{Nav|../Preliminares|Preliminares|../Campo escalar|Campo escalar}}
[[Categoría:Física]]
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