Diferencia entre revisiones de «Mecánica clásica/Mecánica analítica/Formulación Hamiltoniana»

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presentación (introdución transformadas de Legendre)
 
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empezando sección de formulación Hamiltoniana
Línea 1:
== Las ecuaciones de Hamilton ==
Una vez definida la lagrangiana del sistema
 
Una vez definida la lagrangianafunción Lagrangiana del sistema
 
<math>L=L(q_j, \dot q_j, t)</math>
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Las (q,p) son conocidas como las '''variables canónicas''' <ref name="Legendre Transformations and Hamilton">{{cita libro |apellido=Goldstein |nombre=Herbert |título=Classical Mechanics |edición=tercera edición |año= |editor= |editorial=Addison Wesley |capítulo=The Hamilton Equations of Motion |páginas=335}}</ref>.
 
Desde un punto de vista matemático, las variables <math>q_j\!</math> y <math>\dot q_j\!</math> pueden ser tratadas como independientes. Es por ello que se pueden tomar derivadas parciales con respecto a una <math>q_i\!</math> dejandoconsiderando las restantes <math>q_j\!</math> (''j'' distinto de ''i'') y todas las <math>\dot q_j\!</math> como constantes <ref name="Legendre Transformations and Hamilton"/>. Desde un punto de vista estrictamente matemático, el paso de la formulación Lagrangiana a la Hamiltoniana se basa en cambiar las variables <math>(q,\dot q, t)\!</math> de nuestras funciones mecánicas a <math>(q, p, t)\!</math> mediante el formalismo de las ''Transformadas de Legendre'' <ref name="Legendre Transformations and Hamilton"/>.:
 
<math>H(q, p, t)=\dot q_i p_i - L(q, \dot q, t)</math>
 
que tiene el diferencial
 
<math>dH=\dot q_i dp_i - \dot p_i dq_i - \frac{\partial L}{\partial t}</math>
 
ya que el término <math>p_i dq_i\!</math> desaparece al realizar la ''transformada de Legendre''.
 
Si igualamos las derivadas segundas cruzadas de la función Hamiltoniana, se tiene un total de ''2n+1'' ecuaciones
 
<math>\begin{cases}
\dot q_i = \frac{\partial H}{\partial p_i} \\
\dot p_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i} \\
\dot \frac{\partial L}{\partial t} = -\frac{\partial H}{\partial t}
\end{cases}</math>
 
que se conocen como las '''ecuaciones canónicas de Hamilton'''<ref name="Legendre Transformations and Hamilton"/>. ''Arreglar: Como se han presentado, parecería que dichas ecuaciones son un simple resultado matemático, cuando en realidad han de suponerse para establecer las bases de la mecánica.''
 
Si las ligaduras de las coordenadas <math>q_i\!</math> no dependen del tiempo explícitamente, y las fuerzas provienen de potenciales conservativos, se cumple que
 
<math>H=T+V\!</math>
 
y su valor es igual al de la energía total del sistema
 
<math>H=E.\!</math>
 
 
== Notas y referencias ==