Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Bachillerato LOGSE/Álgebra»
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Comprobación <math>\begin{cases} x_1=2 \rightarrow \sqrt{2 \cdot 2 -3} \sqrt{2+7}=\sqrt{1}+\sqrt{9} = 1+3=4 \ \mbox{valida} \\ x_2=114 \rightarrow \sqrt{2 \cdot 114 - 3} + \sqrt{114+7}=15+11 \ne 4 \ \mbox{no valida} \end{cases}</math>
==Nociones básicas para la factorización de polinomios==
La motivación de este apartado es la misma que la que se podría encontrar para la factorización de números; factorizar un número cualquiera es muy útil para calcular el mcm y el MCD además de para simplificar fracciónes o sacar factores de un radical. Factorizar polinomios nos servirá para simplificar fracciones algebraicas, hacer el mcm y el MCD de los polinomios, que también los tiene, y si alguno va a la universidad le serán muy útiles (por ejemplo para hacer transformadas). El concepto fundamental para factorizar polinomios es el de ''polinomio irreducible'', esto es en el cuerpo de los números reales, un polinomio sin raíces reales. Se puede comprobar (con ayuda del cálculo diferencial, por ejemplo) que cualquier polinomio de grado impar tiene al menos una raíz real, por tanto los polinomios irreducibles han de ser de grado par. Aplicando razonamientos sencillos con números complejos se puede deducir, además, que cualquier polinomio de grado par se puede expresar como producto de polinomios de grado dos. Por tanto, los polinomios irreducibles son los de primer grado y los de segundo grado cuyo discriminante es negativo. Tenemos así determinados los equivalentes a los números primos en el caso de los enteros, en el conjunto de los polinomios con coeficientes reales de variable real.
Podemos ver que: <math>x^6-5x^5+3x^4-19x^3+30x^2 = (x-2)x^2(x+3)(x^2+4x+5)\,\!</math>
<math>(x-2)x^3(x+3)(x^2+4x+5)\,\!</math> es el polinomio factorizado. Un polinomio está factorizado cuando está expresado como productos de polinomios de menor grado posible es decir de la forma <math>x^n(x-a)^m(ax^2+bx+c)^r...\,\!</math> es decir como producto de polinomios de primer grado, y de como máximo de segundo grado cuando no existen soluciones en los reales.
En el ejemplo <math>(x-2)x^3(x+3)(x^2+4x+5) \rightarrow 2,\ -3\,\!</math> y <math>0\,\!</math> serían raíces del polinomio.
====Factorización de polinomios de segundo grado====
Los polinomios de segundo grado <math>ax^2+bx+c\,\!</math> se pueden factorizar de esta manera (teniendo en cuenta que tendrá como máximo 2 raíces reales):
* Si el polinomio tiene dos raices <math>x_1\,\! y x_2\,\!</math> entonces <math>ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)\,\!</math>
'''Ejemplo'''
<math>3x^2+9x-30=3(x-2)(x+5)\,\!</math>
* Si sólo tiene una raíz <math>x_1\,\!</math> entonces <math>ax^2+bx+c = a(x-x_1)^2\,\!</math>
'''Ejemplo'''
<math>2x^2-28x+98=2(x-7)^2\,\!</math>
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# <math>-1+68=67\,\!</math>
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El resultado significa que el cociente de la división <math>C(x)=7x^3+9x^2+14x+34\,\!</math> y el resto es <math>67\,\!</math>
====Teorema del resto====
Imaginemos que hacemos la división de un polinomio <math>P(x)=ax^3+bx^2+cx+d\,\!</math> por <math>(x-t)\,\!</math> y nos da un resto que llamaremos <math>r\,\!</math>, bien pues si hiciesemos <math>x=t\,\!</math> en el polinomio es decir <math>P(t)\,\!</math> el resultado sería <math>r\,\!</math> es decir <math>P(t)=r\,\!</math> Eoo
Este resultado se puede extender a polinomios de grado cualquiera.
'''Demostración'''
{|
|
{|
|-
| <math>P(x)\,\!</math>
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