Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Aritmética/Números racionales»

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En sentido amplio, se llama '''número racional''' a todo [[número]] que puede representarse como el [[cociente]] de dos enteros con [[denominador]] distinto de [[cero]] (una [[fracción]] común). El término racional alude a ración o parte de un todo, y no al pensamiento o actitud racional.
los números racionales se clasifican en exactos o limitados:
[[Archivo:Fracciones.gif|thumb|Representación gráfica de las fracciones cuyo divisor es 4.]]
 
En sentido estricto, número racional es el [[conjunto]] de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como ''[[representante canónico]]'' de dicho número racional a la [[fracción irreducible]], la de términos más sencillos.
a)exactos o limitados: son los que provienen de una división exacta y tienen un límite.
 
Definimos un número racional como un decimal finito o infinito periódico (por ejemplo, el número decimal finito 0,75 es la representación decimal del número racional 3/4. El número decimal infinito periódico 0,333... es la representación decimal del número racional 1/3). El número racional permite resolver ecuaciones del tipo ax = b, cuando a y b son [[número entero|números enteros]] (con «a» distinto de cero).
ejemplo: 3,24.
0,5.
1,175.
 
El conjunto de los números racionales se denota por <math>\mathbb{Q}</math>, que significa «cociente» ('''''Q'''uotient'' en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los [[número entero|números enteros]] y es un subconjunto de los [[número real|números reales]]. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una [[clase de equivalencia]], resultado de la aplicación de una [[relación de equivalencia]] al conjunto de [[fracción|números fraccionarios]].
 
Los números racionales cumplen la propiedad arquimediana o de densidad, esto es, para cualquier pareja de números racionales existe otro número racional situado entre ellos, propiedad que no estaba presente en los números enteros, por lo que los números racionales son ''densos'' en la [[recta]] de los [[número real|números reales]].
[[Categoría:Números]]
 
== Historia ==
En el [[Antiguo Egipto]] ya se calculaba utilizando aquéllas cuyos denominadores son enteros positivos, como: cualquier fracción que escribimos con un numerador no unitario, los egipcios la escribían como suma de fracciones unitarias distintas, de ahí que las sumas de fracciones unitarias se conozcan como [[fracción egipcia]]. Además, se puede demostrar que cualquier número racional [[número positivo|positivo]] se puede escribir como fracción egipcia.
{|
|El [[jeroglífico]] de una boca abierta (<hiero>D21</hiero>) denotaba la barra de fracción (/), y un jeroglífico numérico escrito debajo de la "boca abierta", denotaba el denominador de la fracción.
|}
Los [[Historia de Babilonia|babilónicos]] utilizaban fracciones cuyo denominador era una potencia de 60, mientras que los egipcios usaron, sobre todo, las fracciones con numerador igual a 1. En la escritura, la fracción la expresaban con un óvalo, que significaba parte o partido, y debajo, o al lado, ponían el denominador; el numerador no se ponía por ser siempre 1.
Los [[Grecia Antigua|griegos]] y [[Roma Antigua|romanos]] usaron también las fracciones unitarias, cuya utilización persistió hasta la época medieval.
 
En el [[siglo XIII]] [[Leonardo de Pisa]], mejor conocido como Fibonacci, introdujo en Europa la barra horizontal para separar numerador y denominador en las fracciones.
 
== Construcción de los números racionales ==
* Consideremos las parejas de [[número entero|números enteros]] <math>\left( a,b\right)</math> donde <math>b\neq 0</math>.
 
* <math>\frac{a}{b}</math> denota a <math>\left( a,b\right)</math>. A <math> a \, </math> se le llama ''[[numerador]]'' y a <math> b \, </math> se le llama ''[[denominador]]''
 
* Al conjunto de estos números se le denota por <math>\mathbb{Q}</math>. Es decir <math>\mathbb{Q}=\left\{ \frac{p}{q}\mid p\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{Z},q\neq0\right\}</math>
 
=== Definición de suma y multiplicación en Q ===
* Se define la [[suma]] <math>\frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}</math>
 
* Se define la [[multiplicación]] <math>\frac{a}{b}\times\frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}</math>
 
=== Relaciones de equivalencia y orden en Q ===
[[Archivo:Kbruch.png|thumb|[[Fracción#Clasificación de fracciones|Fracción aparente]] que es equivalente a dos.]]
* Se define la equivalencia <math>\frac{a}{b}=\frac{c}{d}</math> cuando <math> ad = bc \, </math>
 
* Los racionales positivos son todos los <math>\frac{a}{b}</math> tales que <math> ab > 0 \, </math>
 
* Los racionales negativos son todos los <math>\frac{a}{b}</math> tales que <math> ab < 0 \, </math>
 
* Se define el orden <math>\frac{a}{b}>\frac{c}{d}</math> cuando <math> ad - bc > 0 \, </math>
 
=== Notación ===
* Los números de tipo <math>\frac{-a}{b}</math> son denotados por <math>-\frac{a}{b}</math>
 
* Las sumas de tipo <math>\frac{a}{b}+\frac{-c}{d}</math> son denotadas por <math>\frac{a}{b}-\frac{c}{d}</math>
 
* <math>\frac{a}{b}\left(\frac{c}{d}\right)</math> denota a <math>\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}</math>
 
* Todo número <math>\frac{p}{1}</math> se denota simplemente por <math> p \, </math>.
 
== Unicidad de un racional ==
Un número racional sólo puede provenir de una única fracción irreducible.
 
== Propiedades de los números racionales ==
El conjunto de los números racionales con la suma y multiplicación definida de esta manera forman un [[Cuerpo (matemática)|Cuerpo]].
 
=== Propiedades de la suma y multiplicación ===
* La suma en Q es conmutativa, esto es: <math>\frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{c}{d}+\frac{a}{b}</math>
* La suma en Q es asociativa, esto es: <math>\frac{a}{b}+\left(\frac{c}{d}+\frac{p}{q}\right) = \left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)+\frac{p}{q} = \left(\frac{a}{b}+\frac{p}{q}\right)+\frac{c}{d}</math>
* La multiplicación en Q es asociativa, esto es: <math>\frac{a}{b}\times\left(\frac{c}{d}\times\frac{p}{q}\right) = \left(\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}\right)\times\frac{p}{q}</math>
* La multiplicación se distribuye en la suma, esto es <math>\frac{a}{b}\times\left(\frac{c}{d}+\frac{p}{q}\right) = \left(\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}\right)+\left(\frac{a}{b}\times\frac{p}{q}\right)</math>
 
=== Existencia de neutros e inversos ===
* Para cualquier número racional: <math>\frac{a}{b}</math> se cumple que <math>\frac{a}{b}+\frac{0}{1}=\frac{a}{b}</math> entonces <math>\frac{0}{1}</math> es el ''neutro aditivo'' de los racionales y se le denota por <math>0</math>.
* Para cualquier número racional: <math>\frac{a}{b}</math> se cumple que <math>\frac{a}{b}\times\frac{1}{1}=\frac{a}{b}</math> entonces <math>\frac{1}{1}</math> es el ''neutro multiplicativo'' de los racionales y se le denota por <math>1</math>.
* Cada número racional: <math>\frac{a}{b}</math> tiene un inverso aditivo <math>\frac{-a}{b}</math> tal que <math>\frac{a}{b}+\frac{-a}{b}=0</math>
* Cada número racional: <math>\frac{a}{b}</math> con excepción de <math>0</math> tiene un inverso multiplicativo <math>\frac{b}{a}</math> tal que <math>\frac{a}{b}\times\frac{b}{a}=1</math>
 
=== Equivalencias notables en Q ===
* <math>\frac{ca}{cb}=\frac{a}{b}</math> si <math>c\neq 0 </math> y <math>b\neq 0 </math>
* <math>\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}</math>
* <math>\frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}</math>
* <math>\frac{0}{a}=\frac{0}{b}=0</math>, a y b ≠ 0
* <math>\frac{a}{a}=\frac{b}{b}=1</math>, a y b ≠ 0.
 
=== Los números enteros en Q ===
* Si <math>p</math> es un [[número entero]] entonces existe el número <math>\frac{p}{1}</math> que equivale a <math>p</math> y mantiene todas sus propiedades de entero. Es decir, se define <math>\mathcal{I}_{\mathbb{Q}}:\mathbb{Z\rightarrow\mathbb{Q}},\;\mathcal{I}_{\mathbb{Q}}\left(p\right)=\frac{p}{1}</math>
 
== Otras notaciones de números en Q ==
 
=== Fracciones mixtas ===
Cada número racional <math>\frac{p}{q}</math> se puede expresar de forma única como <math>u\left(A+\frac{a}{b}\right)</math> donde
* A es un [[número entero|entero]] no negativo, es decir <math>A\in \mathbb{Z},~A\geq 0</math>
* <math>\frac{a}{b}</math> es un racional irreducible no negativo menor que uno. Se expresa como <math>\mathrm{mcd}\left( a,b\right)=1, \quad 0\leq a< b</math>
* <math>u</math> es una unidad. Es decir <math>u=\pm 1</math>
 
La notación es muy sencilla, las reglas son
* <math>A\frac{a}{b}</math> denota a <math>A+\frac{a}{b}</math>
* <math>-A\frac{a}{b}</math> denota a <math>-A-\frac{a}{b}</math>
 
Por ejemplo <math>-2\frac{5}{7}=-\frac{19}{7}</math>
 
=== El conjunto de los números decimales en Q ===
* Un número decimal es un número racional de la forma <math>\frac{a}{10^n}</math>
* <math>\mathbb{D}</math> denota al conjunto de los números de este tipo. Es decir <math>\mathbb{D}=\left\{\frac{a}{10^n}\mid \frac{a}{10^n}\in\mathbb{Q}\right\}</math>
* ''Expresión Racional'' de un número decimal: el número <math>a</math> en base <math>10</math> con un punto a <math>n</math> lugares del extremo derecho, por ejemplo <math>\frac{178}{10^2}</math> se denota como <math>1.78</math>
 
== Representación decimal de los números racionales ==
 
Los números racionales se caracterizan por tener un desarrollo decimal cuya expresión sólo puede ser de tres tipos:
* '''Exacta:''' la parte decimal tiene un número finito de cifras. Ejemplo:
::<math>\frac 8 5 = 1,6</math>
* '''Periódica pura:''' toda la parte decimal se repite indefinidamente. Ejemplo:
::<math>\begin{array}{rcl}\cfrac 1 7&=&0,142857142857\dots\\&=&0,\overline{142857}\end{array}</math>
* '''Periódica mixta:''' no toda la parte decimal se repite. Ejemplo:
::<math>\begin{array}{rcl}\cfrac 1 {60}&=&0,01666\dots\\&=&0,01\overline{6}\end{array}</math>
 
En efecto, al aplicar el algoritmo para dividir un entero por otro, sólo existen un número finito de restos posibles. Siendo la sucesión de restos infinita, aparecerá forzosamente un mismo resto en dos posiciones distintas. A partir de ellas, el cálculo se repite igual. Ejemplo:
 
:<math>\begin{array}{r}
0,1428571\ldots\\
7\overline{)10\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,}\\
30\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\\
20\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\\
60\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\\
40\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\\
50\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\\
10\;\,\;\,\;\,\;\,\\
\vdots\;\,\;\,\;\,\;\,
\end{array}
</math>
 
Recíprocamente, todo número con un desarrollo decimal puede expresarse en fracción de la siguiente manera:
 
{{AP|Número periódico}}
 
* '''Decimales exactos o finitos''': Se escribe en el numerador la expresión decimal sin la coma (como un número entero), y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales. Ejemplo: <math>34,65 = \frac{3465}{100}</math>
* '''Decimales periódicos puros''': La fracción de un número decimal periódico tiene como numerador la diferencia entre el número escrito sin la coma, y la parte anterior al periodo; y como denominador, tantos "9" como cifras tiene el periodo. Ejemplo: <math>15,3434\dots=\frac{1534-15}{99}</math>
* '''Decimales periódicos mixtos''': Tendrá como numerador la diferencia entre <math>a</math> y <math>b</math>, donde <math>a</math> es el número escrito sin la coma, y <math>b</math> es el número sin la parte decimal periódica, escritos ambos como números enteros. El denominador tendrá tantos "9" como cifras tiene el periodo y otros tantos "0" como cifras decimales no periódicas haya. Ejemplo: Sea el número <math>12,345676767\dots</math> entonces <math>a=1234567 \,</math> y <math>b=12345 \,</math>, por lo que el número buscado será <math>{1234567-12345}\over{99000}</math>.
 
== Referencias ==
* {{cita libro
| autor = Cárdenas; Raggi
| título = Álgebra Superior
| año = 1990
| editorial = México D.F. : Trillas
| id = ISBN 968-24-3783-0
}}
 
== Véase también ==
{| style="margin:2em; border-right:1px solid Silver; border-bottom:2px solid Silver"
|
{| style="margin:4px; border:2px solid Silver"
|
{| style="margin:1em"
|+ [[Número|Números]]
| [[Número complejo|Complejos]] <math>\mathbb{C}</math>
|
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|
{|
| [[Número real|Reales]] <math>\mathbb{R}</math>
|
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|
{|
| [[Número racional|Racionales]] <math>\mathbb{Q}</math>
|
{| style="border-left:4px solid Green"
|
{|
| [[Número entero|Enteros]] <math>\mathbb{Z}</math>
|
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|
{|
| [[Número natural|Naturales]] <math>\mathbb{N}</math>
|
{| style="border-left:4px solid Green"
| [[Uno]]
|-
| [[Número primo|Primos]]
|-
| [[Número compuesto|Compuestos]]
|}
|}
|-
| [[Cero]]
|-
| [[Entero negativo|Negativos]]
|}
|}
|-
|
{|
| [[Número fraccionario|Fraccionarios]]
|
{| style="border-left:4px solid Green"
| [[Fracción propia]]
|-
| [[Fracción impropia]]
|}
|}
|}
|}
|-
|
{|
| [[Número irracional|Irracionales]]
|
{| style="border-left:4px solid Green"
| [[Número algebraico|Algebraicos irracionales]]
|-
| [[Número trascendente|Trascendentes]]
|}
|}
|}
|}
|-
| [[Número imaginario|Imaginarios]]
|}
|}
|}
|}