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== Reglas de derivación ==
{{hoja suelta}}
'''Regla de derivación general:'''
==Resultados previos utilizados==
'''Linealidad'''
:<math>
\frac {d(f(x)+g(x))}{dx}=\frac{df(x)}{dx}+\frac{dg(x)}{dx}
</math>
'''Regla de Leibniz'''
:<math>
\frac {d(f(x)\cdot g(x))}{dx}=\frac {df(x)}{dx}g(x)+f(x)\frac {dg(x)}{dx}
</math>
'''Regla de la cadena'''
:<math>
\frac {df(g(x))}{dx}=\frac {df(g(x))}{dg}\cdot \frac {dg(x)}{dx}
</math>
==Polinomios==
Por linealidad la derivación de un polinomio puede realizarse término a término.
Sea <math> \ f(frac{d}{dx}x)^{n}=x nx^{n -1}</math>
Empleando el desarrollo del binomio de Newton obtenemos un término en potencia 0 de h, uno en potencia h y el resto iguales o superiores a <math> h^2 </math>.
:<math>
\frac {df}{dx}=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{x^n+hnx^{n-1}+h^2(...)-x^n}{h}
</math>
Efectuando el límite obtenemos el resultado buscado.
:<math>
\frac {dx^n}{dx}=\lim_{h \to 0}(nx^{n-1}+h(...))=nx^{n-1}
</math>
==Exponencial==
Una de las posibles definiciones de <math> e^x </math> es:
:<math>
e^x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}
</math>
Dejando de lado cuestiones de convergencia, si efectuamos la derivación término a término extendiéndola a los infinitos términos tenemos que:
:<math>
\frac{de^x}{dx}=\frac{d1}{dx}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{d}{dx}\frac{x^k}{k!}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{kx^{k-1}}{k(k-1)!}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k-1}}{(k-1)!}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}
</math>
Obteniendo por tanto:
:<math>
\frac {de^x}{dx}=e^x
</math>
===Exponencial en base arbitraria===
Sea <math> \ f(x)=a^x </math>. Aplicando logaritmo y exponenciación sucesivamente tenemos que <math> \ ln(e^{f(x)})=f(x)=e^{xln(a)} </math>, de modo que derivando obtenemos:
:<math>
\frac{d(a^x)}{dx}=ln(a)e^{xln(a)}=ln(a)a^x
</math>
==Logaritmo neperiano==
Por definición de logaritmo neperiano tenemos que:
:<math>
\ ln(e^t)=t
</math>
Efectuamos el cambio de variable <math> x=e^t </math>, derivando respecto a t y aplicando la regla de la cadena obtenemos:
:<math>
\frac {dln(x)}{dt}=\frac {dln(x)}{dx}\frac{dx}{dt}=1
</math>
Dado que <math> x=e^t </math>
:<math>
\frac{dx}{dt}=\frac{de^t}{dt}=e^t=x
</math>
Sustituyendo en la penúltima expresión:
:<math>
\frac{dln(x)}{dx}=\frac{1}{x}
</math>
==Funciones trigonométricas==
===Límites empleados===
* El primer límite que emplearemos es:
:<math>
\lim_{x \to 0}\frac {1-cos(x)}{x}=0
</math>
'''Demo'''
Para ángulos en el primer cuadrante se verifica que:
:<math>
\ 0\leq sin(x)\leq x\leq tan(x)
</math>
Elevando al cuadrado y dividiendo por x:
:<math>
0\leq\frac{sin^2(x)}{x}=\frac {1-cos^2(x)}{x}=\frac {(1-cos(x))(1+cos(x)}{x}\leq x
</math>
De modo que tenemos:
:<math>
0\leq\lim_{x \to 0}\frac {1-cos(x)}{x}\leq\lim_{x \to 0}\frac {x}{1+cos(x)}=0
</math>
El segundo límite es trivial y da 0 de modo que:
:<math>
\lim_{x \to 0}\frac {1-cos(x)}{x}=0
</math>
'''Derivada de una suma:'''
* El segundo límite es:
:<math>
\lim_{x \to 0}\frac {sin(x)}{x}=1
</math>
<math>\frac{d}{dx}(x^{a}+x^{b})=ax^{a-1}+bx^{b-1}</math>
'''Demo'''
Empleando la misma desigualdad que en caso anterior para ángulos del primer cuadrante:
:<math>
\ sin(x)\leq x\leq tan(x)
</math>
Dividiendo por sin(x) tenemos:
:<math>
\ 1 \leq\frac{x}{sin(x)}\leq\frac{1}{cos(x)}
</math>
Aplicando límite a los tres términos:
:<math>
\lim_{x\to 0}1=1\leq\lim_{x\to 0}\frac{x}{sin(x)}\leq\lim_{x\to 0}\frac{1}{cos(x)}=1
</math>
Obteniendo:
:<math>
\lim_{x\to 0}\frac{x}{sin(x)}=1
</math>
'''Derivada de un producto:'''
<math>\frac{d}{dx}(uv)=v\frac{du}{dx}+u\frac{dv}{dx}</math>
===Seno===
Aplicando la definición de derivada y aplicando el seno de la suma:
:<math>
\frac{dsin(x)}{dx}=\lim_{h \to 0}\frac {sin(x+h)-sin(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac {sin(x)cos(h)+cos(x)sin(h)-sin(x)}{h}
</math>
Separando en dos límites
:<math>
\frac{dsin(x)}{dx}=sin(x)\lim_{h \to 0}\frac {cos(h)-1}{h}+cos(x)\lim_{h \to 0}\frac {sin(h)}{h}
</math>
El primero de los límites resulta ser 0 mientras que el segundo es 1 obteniendo por tanto:
:<math>
\frac{dsin(x)}{dx}=cos(x)
</math>
===Coseno===
El procedimiento será análogo al anterior.
'''Derivada de un cociente:'''
Aplicando la definición de derivada y aplicando el coseno de la suma:
:<math>
<math>\frac{dcos(x)d}{dx}=\lim_{h \to 0}left(\frac {cos(x+h)-cos(x)u}{hv}\right)=\lim_frac{h v\to 0frac{du}{dx}+u\frac {cos(x)cos(h)-sin(x)sin(h)-cos(x)dv}{hdx}}{v^{2}}</math>
</math>
'''Derivada de una constante'''
Separando en dos límites
:<math>
<math>\frac{d}{dx}(a)=0</math>
\frac{dcos(x)}{dx}=cos(x)\lim_{h \to 0}\frac {cos(h)-1}{h}-sin(x)\lim_{h \to 0}\frac {sin(h)}{h}
</math>
'''Regla de la cadena:'''
El primero de los límites es 0 mientras que el segundo es 1 obteniendo por tanto:
:<math>
<math>\frac{d}{dx}f(u)=\frac{df}{du}\frac{du}{dx}</math>
\frac{dcos(x)}{dx}=-sin(x)
</math>
===Tangente===
La tangente viene definida como:
:<math>
\ tan(x)=\frac{sin(x)}{cos(x)}
</math>
Aplicando la derivada del producto (podemos entender el cociente como el producto de una función por la otra elevada a -1).
:<math>
\frac{d(tan(x))}{dx}=\frac{cos(x)}{cos(x)}+sin(x)\frac {sin(x)}{cos^2(x)}=1+tan^2(x)
</math>
==Funciones trigonométricas inversas==
===Arcoseno===
Por definición de arcoseno:
:<math>
\ asin(sin(t))=t
</math>
Efectuando el cambio de variable <math> x=sin(t) </math>, derivando respecto a t y aplicando la regla de la cadena tenemos:
:<math>
\frac{d(asin(x))}{dt}=\frac {d(asin(x))}{dx}\frac{dx}{dt}=1
</math>
Teniendo en cuenta que:
:<math>
\frac{dx}{dt}=cos(t)=\sqrt{1-sin^2(t)}=\sqrt{1-x^2}
</math>
Sustituyendo
:<math>
=\frac {d(asin(x))}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
</math>
===Arcocoseno===
Por definición de arcocoseno:
:<math>
\ acos(cos(t))=t
</math>
De nuevo efecttuando el cambio de variable <math> x=cos(t) </math>, derivando respecto a t y aplicando la regla de la cadena tenemos:
:<math>
\frac{d(acos(x))}{dt}=\frac {d(acos(x))}{dx}\frac{dx}{dt}=1
</math>
Análogamente (en este caso hemos de coger la raiz negativa para conservar el signo):
:<math>
\frac{dx}{dt}=-sin(t)=-\sqrt{1-cos^2(t)}=-\sqrt{1-x^2}
</math>
Sustituyendo
:<math>
\frac {d(acos(x))}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
</math>
===Arcotangente===
Por definición de arcotangente:
:<math>
\ atan(tan(t))=t
</math>
Efectuando el cambio de variable <math> x=tan(t) </math>, derivando respecto a t y aplicando la regla de la cadena tenemos:
:<math>
\frac{d(atan(x))}{dt}=\frac {d(atan(x))}{dx}\frac{dx}{dt}=1
</math>
Teniendo en cuenta que:
:<math>
\frac{dx}{dt}=1+tan^2(t)=1+x^2
</math>
Sustituyendo
:<math>
\frac {d(atan(x))}{dx}=\frac{1}{1+x^2}
</math>
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