Diferencia entre revisiones de «Álgebra Lineal/Sistema de ecuaciones lineales»

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Línea 1:
==Ecuaciones lineales==
Janeth!!!
<table WIDTH="75%"><tr><td style="background-color: #FFF7F7; border: solid 1px #FFBDBD; padding: 1em;" valign=top>
Una '''ecuación lineal''' es una ecuación que tiene la forma:
 
<math>a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=b</math>
 
</td></tr></table>
 
Donde ''a<sub>1</sub>'',''a<sub>2</sub>'' son escalares y se denominan '''coeficientes''' de la ecuación y ''b'' se denomina '''término constante'''. Generalmente las variables en una ecuación se denotan como x<sub>n</sub>, en lugar de x, y, z, etc. Esto se debe porque, en un sistema real, pueden existir miles de variables. Los problemas en este texto no tendrán mas de 5 o 6 variables. Todas las variables tendrán que estar elevadas a la primer potencia.
 
===Ejemplos===
 
1. <math>2x_1 - 5x_2 + x_3 = 9 \!</math>
<br>es una ecuación lineal
 
 
Resultado
de una función lineal de dos variable
<math>x_1
 
2. <math>x_1 + 2x_2 + 2\sqrt{x_3} = 1 \!</math>
<br>NO ES una ecuación lineal porque un término contiene una raíz cuadrada. La raíz <math>\sqrt{x_3}</math> es igual que x<sub>3</sub> a la <math>1/2</math> potencia. Para ser lineal tendría que estar a la primera potencia.
 
3. <math>-10x_1 + 2x_2 = 0 \!</math>
<br>es una ecuación lineal
 
4. <math>x_1x_2 + 2x_3 = 0 \!</math>
<br>NO ES una ecuación lineal porque <math>x_1x_2 </math> es un término elevado a la segunda potencia.
 
==Funciones Lineales==
Línea 23 ⟶ 50:
:<math>f = \sum f(v_i)f_i</math>
:<math>v = \sum f_i(v)v_i</math>
 
==Teorema de representación de funciones lineales==
 
Sea '''V''' un espacio vectorial sobre '''K''', <math>\mathrm{dim} V = n</math>, con producto escalar, y
<math>f: V \rightarrow K</math> una función lineal, entonces existe un único vector <math>v_o \in V</math>, tal
que <math>f(v) = \langle v, v_o \rangle</math>, <math>\forall v \in V</math>.
 
Demostrándose que <math>v_o = \sum \overline{f(e_i)}e_i</math>
 
---++ Adjunta de un operador linear
 
Sea '''V''' un espacio vectorial.
 
El operador adjunto, <math>T^* : V \rightarrow V </math>, de un determinado operador lineal <math>T : V \rightarrow V</math> está definido por la igualdad:
 
:<math> \langle T(u), v \rangle = \langle u, T^*(v) \rangle , \quad \forall u, v \in V</math>
 
Demostrándose que todo operador linear posee un y apenas un operador correspondiente.
 
A partir de la definición, podemos obtener las siguientes consecuencias (prove!):
 
:<math>(S + T)^* = S^* + T^*</math>
:<math>(\lambda T)^* = \bar{\lambda} T^*</math>
:<math>(S \circ T)^* = T^* \circ S^*</math>
 
'''Proposición''': Sea '''V''' un espacio vectorial sobre '''K''', <math>\mathrm{dim} V = n</math>, con producto escalar.
Sea <math>\alpha = \{e_1, e_2, \ldots, e_n\}</math> una base ortonormal de '''V'''. Entonces
<math>[T]_\alpha = (a_{ij})</math>, donde <math>a_{ij} = \langle T(e_j), e_i \rangle</math>
 
'''Corolario''': Sea '''V''' un espacio vectorial sobre '''K''', <math>\mathrm{dim} V = n</math>, con producto escalar.
Entonces, para qualquer base <math>\alpha = \{e_1, e_2, \ldots, e_n\}</math> ortonormal de '''V''', tenemos que
la matriz <math>[T^*]_\alpha = (\overline{[T]_\alpha})^t</math>.