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:<math>f = \sum f(v_i)f_i</math>
:<math>v = \sum f_i(v)v_i</math>
==Teorema de representación de funciones lineales==
Sea '''V''' un espacio vectorial sobre '''K''', <math>\mathrm{dim} V = n</math>, con producto escalar, y
<math>f: V \rightarrow K</math> una función lineal, entonces existe un único vector <math>v_o \in V</math>, tal
que <math>f(v) = \langle v, v_o \rangle</math>, <math>\forall v \in V</math>.
Demostrándose que <math>v_o = \sum \overline{f(e_i)}e_i</math>
---++ Adjunta de un operador linear
Sea '''V''' un espacio vectorial.
El operador adjunto, <math>T^* : V \rightarrow V </math>, de un determinado operador lineal <math>T : V \rightarrow V</math> está definido por la igualdad:
:<math> \langle T(u), v \rangle = \langle u, T^*(v) \rangle , \quad \forall u, v \in V</math>
Demostrándose que todo operador linear posee un y apenas un operador correspondiente.
A partir de la definición, podemos obtener las siguientes consecuencias (prove!):
:<math>(S + T)^* = S^* + T^*</math>
:<math>(\lambda T)^* = \bar{\lambda} T^*</math>
:<math>(S \circ T)^* = T^* \circ S^*</math>
'''Proposición''': Sea '''V''' un espacio vectorial sobre '''K''', <math>\mathrm{dim} V = n</math>, con producto escalar.
Sea <math>\alpha = \{e_1, e_2, \ldots, e_n\}</math> una base ortonormal de '''V'''. Entonces
<math>[T]_\alpha = (a_{ij})</math>, donde <math>a_{ij} = \langle T(e_j), e_i \rangle</math>
'''Corolario''': Sea '''V''' un espacio vectorial sobre '''K''', <math>\mathrm{dim} V = n</math>, con producto escalar.
Entonces, para qualquer base <math>\alpha = \{e_1, e_2, \ldots, e_n\}</math> ortonormal de '''V''', tenemos que
la matriz <math>[T^*]_\alpha = (\overline{[T]_\alpha})^t</math>.
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