Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Precálculo/Derivadas, reglas y teoremas»
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Línea 55:
</math>
==Funciones trigonométricas==
===Límites empleados===
* El primer límite que emplearemos es:
:<math>
\lim_{x \to 0}\frac {1-cos(x)}{x}=0
</math>
'''Demo'''
Para ángulos en el primer cuadrante se verifica que:
:<math>
\ 0\leq sin(x)\leq x\leq tan(x)
</math>
Elevando al cuadrado y dividiendo por x:
:<math>
0\leq\frac{sin^2(x)}{x}=\frac {1-cos^2(x)}{x}=\frac {(1-cos(x))(1+cos(x)}{x}\leq x
</math>
De modo que tenemos:
:<math>
0\leq\lim_{x \to 0}\frac {1-cos(x)}{x}\leq\lim_{x \to 0}\frac {x}{1+cos(x)}=0
</math>
El segundo límite es trivial y da 0 de modo que:
:<math>
\lim_{x \to 0}\frac {1-cos(x)}{x}=0
</math>
* El segundo límite es:
:<math>
\lim_{x \to 0}\frac {sin(x)}{x}=1
</math>
'''Demo'''
Empleando la misma desigualdad que en caso anterior para ángulos del primer cuadrante:
:<math>
\ sin(x)\leq x\leq tan(x)
</math>
Dividiendo por sin(x) tenemos:
:<math>
\ 1 \leq\frac{x}{sin(x)}\leq\frac{1}{cos(x)}
</math>
Aplicando límite a los tres términos:
:<math>
\lim_{x\to 0}1=1\leq\lim_{x\to 0}\frac{x}{sin(x)}\leq\lim_{x\to 0}\frac{1}{cos(x)}=1
</math>
Obteniendo:
:<math>
\lim_{x\to 0}\frac{x}{sin(x)}=1
</math>
===Seno===
Aplicando la definición de derivada y aplicando el seno de la suma:
:<math>
\frac{dsin(x)}{dx}=\lim_{h \to 0}\frac {sin(x+h)-sin(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac {sin(x)cos(h)+cos(x)sin(h)-sin(x)}{h}
</math>
Separando en dos límites
:<math>
\frac{dsin(x)}{dx}=sin(x)\lim_{h \to 0}\frac {cos(h)-1}{h}+cos(x)\lim_{h \to 0}\frac {sin(h)}{h}
</math>
El primero de los límites resulta ser 0 mientras que el segundo es 1 obteniendo por tanto:
:<math>
\frac{dsin(x)}{dx}=cos(x)
</math>
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