Diferencia entre revisiones de «Física/Vibraciones mecánicas/Ondas estacionarias»
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==Tratamiento matemático==
===Caso unidimensional===
En este apartado analizaremos el caso de una onda estacionaria armónica en un medio unidimensional.
Para empezar emplearemos la solución de la ecuación de ondas obtenida por separación de variables.
:<math>
\Phi(x,t)=\sum_{k} A_k\cdot sin(vk t +\delta)\cdot sin(kx+\phi)
</math>
La anterior solución puede verificarse por simple sustitución en la ecuación de ondas.
Supondremos que la onda está confinada en la región del espacio [0,a] de modo que <math> \Phi (0,t)=\Phi (a,t)=0 </math>. Supondremos además que la onda es armónica de modo que nos restringiremos un solo valor de k.
:<math>
\Phi(x,t)= A_k\cdot sin(vk t +\delta)\cdot sin(kx+\phi)
</math>
Aplicando las condiciones mencionadas obtenemos
:<math>
\Phi(x,t)= A_k\cdot sin(vk t +\delta)\cdot sin(kx)
</math>
:<math>
ka=m\pi,m \in \mathbb N
</math>
===Caso bidimensional===
====Coordenadas rectangulares====
A continuación se estudiará el caso de una onda estacionaria bidimensional armónica confinada en un rectagulo de lados a y b.
Análogamente al caso unidimensional la ecuación de ondas en coordenadas rectangulares tendrá la forma:
:<math>
\frac{\partial^2\Phi}{\partial x ^2}+\frac{\partial^2\Phi}{\partial y ^2}=\frac{1}{v^2}
\frac{\partial^2\Phi}{\partial t ^2}
</math>
La solución será analogamente:
:<math>
\Phi(x,y,t)=\sum_{k_x,k_y} A_{k_x,k_y}\cdot sin(v\cdot\sqrt{k_x^2+k_y^2}\cdot t +\delta)\cdot sin(k_x x +\gamma)\cdot sin(k_y y+\phi)
</math>
La onda esta confinada en un rectangulo de lados a y b de modo que han de cumplirse las condiciones <math> \Phi(0,y,t)=\Phi(x,0,t)=\Phi(a,y,t)=\Phi(x,b,t)=0 </math>. Si a estas condiciones imponemos que en cada coordenado dispogamos de un modo propio obtenemos:
:<math>
\Phi(x,y,t)=A_{k_x,k_y}\cdot sin(v\cdot\sqrt{k_x^2+k_y^2}\cdot t +\delta)\cdot sin(k_x x)\cdot sin(k_y y)
</math>
:<math>
k_xa=n\pi;k_y=m\pi ;n,m \in \mathbb N
</math>
==Ejemplos==
Las ondas estacionarias puuedes presentarse en vibraciones unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales.
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