Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Conjuntos»

para indicar que el objeto <math>a</math> es uno de los elementos del conjunto <math>x</math>. Es decir, el símbolo "<math>\in</math>", una versión de la letra griega <math>\epsilon</math> (épsilon), lo usaremos para representar la relación de pertenencia{{ref|1}}. Los argumentos de una relación son los objetos que acompañan a esa relación. En el ejemplo <math>a \in x</math>, los argumentos de la relación <math>\in</math> son <math>\,a</math> (primer argumento) y <math>\,x</math> (segundo argumento). Así, puede decirse que los primeros argumentos de la relación <math>\in</math> pertenecen al universo de los elementos, mientras que los segundos argumentos de esta misma relación pertenecen al universo de los conjuntos. Si aceptamos que todo es un conjunto (algo que, por ciertas razones que se verán en su momento, haremos cuando se desarrolle la teoría axiomática de conjuntos), entonces los primeros y segundos argumentos de <math>\in</math> pertenecen al mismo universo.

Consideremos el conjunto <math>\,x=\{1,2,3,4,5\}</math>. Con esto lo que estamos haciendo es denominar por <math>\,x</math> al conjunto <math>\,\{1,2,3,4,5\}</math>. Pues bien, podemos decir entonces que <math>1 \in x</math> y que <math>7 \notin x</math>.

'''1.1.2.''' Diremos que dos conjuntos <math>\,x</math> e <math>\,y</math> son ''iguales'', lo que se representa por <math>\,x=y</math>, si y solo si <math>\,x</math> e <math>\,y</math> consisten de los mismos elementos. Así pues, <math>\,x=y</math> siempre que

para todo elemento <math>\,a</math> (i.e. si todo elemento de <math>\,x</math> es elemento de <math>\,y</math> y, recíprocamente, si todo elemento de <math>\,y</math> es elemento de <math>\,x</math>).

Ejemplo: Siguiendo con nuestro ejemplo, según nuestro criterio vemos que <math>\,\{1,2,3,4,5,\}=\{1,1,1,1,1,1,1,2,3,3,3,4,5,5,5,1\}</math>. En efecto, cada uno de los elementos del conjunto de la izquierda es un elemento del conjunto de la derecha, y viceversa. Podemos pues considerar que ambos conjuntos son iguales, y, como hicimos antes, podemos identificar entonces como <math>\,x</math> a cualquiera de ambos.

'''1.1.3.''' Por otra parte, como un hecho más general que la igualdad, un conjunto <math>\,x</math> es ''subconjunto'' de otro <math>\,y</math>, lo que se representa por

para cualquiera que sea el elemento <math>\,a</math> (i.e., si todo elemento de <math>\,x</math> es elemento de <math>\,y</math>). Claramente

para todo conjunto <math>\,x</math>, por lo que se dice que la relación <math>\subseteq</math> es reflexiva. También tenemos que

<center><math>x\subseteq y</math> y <math>y\subseteq x</math>si y solo si <math>\,x=y</math>,</center>

para cualesquiera conjuntos <math>\,x</math>, <math>\,y</math> y <math>\,z</math>. Estos dos hechos muestran, respectivamente, que la relación <math>\subseteq</math> es antisimétrica y transitiva (véase más adelante [[Teoría de conjuntos/Teoría intuitiva de conjuntos/Relaciones|relaciones]]).

'''1.1.4.''' Si <math>x\subseteq y</math> y <math>x\neq y</math> (i.e. si <math>\,y</math> tiene por lo menos un elemento más que <math>\,x</math>) se dice que <math>\,x</math> es subconjunto ''propio'' de <math>\,y</math>, lo cual se representa por

{{nota|1}}Peano fue el primero en representar la relación de pertenencia por la letra <math>\,\epsilon</math> en sus ''Arithmetices Principia'' (1889), por ser la primera letra de la palabra griega <math>\acute\epsilon\sigma\tau\grave\iota</math>, que significa "está".