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# <math>x\bar +(-1)\circ x=1\circ x + (-1)\circ x=(1+(-1))\circ x=0\circ x=e</math>. Como el simétrico (para la suma) de <math>x</math> es único, tenemos <math>(-1)\circ x=-x</math>.
# <math>(a\circ e)\bar +e=a\circ e=a\circ (e\bar+e)=(a\circ e)\bar+(a\circ e)</math> y por cancelación <math>e=a\circ e</math>.
==Subespacios vectoriales==
Sea <math>V</math> un espacio vectorial sobre el campo F. Un subespacio vectorial <math>W</math> de <math>V</math> es un subconjunto de <math>V</math> tal que es espacio vectorial sobre F con las mismas operaciones definidas en <math>V</math>, es decir que cumple las 8 propiedades de espacio vectorial.
'''Teorema (de caracterización)''' Sea <math>V</math> un espacio vectorial sobre F, W es subespacio vectorial de si y solo si se cumplen las siguientes propiedades:
# <math> \forall a \in F \quad \forall x \in W, \quad {a} \circ{x} \in W</math>
# <math> \forall x,y \in W,\quad x\bar+y \in W</math>
'''Demostración'''
<math>\rightarrow)</math> Es evidente, porque las operaciones <math>\bar+</math> y <math>\circ</math> son operaciones en <math>W</math>.
<math>\leftarrow)</math> Las 8 propiedades de espacio vectorial se cumplen en <math>W</math> porque se cumplen en <math>V</math>.
'''Corolario''' Un subconjunto <math>W</math> no vacío de <math>V</math> es subespacio vectorial si y solo si, para cada <math>a,b\in F</math> y para cada <math>x,y\in W</math> se cumple
::<math>a\circ x\bar + b\circ y\in W</math>.
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