|
[[Geometría Analítica con Matlab/Valores y Vectores Propios|Valores y Vectores Propios]]
[[Geometría Analítica con Matlab/Cónicas Rotadas|Cónicas Rotadas]]
===Ecuación de Segundo Grado===
En esta sección se propone revisar en el plano, la rotación que sucede sobre una cónica, a través de los vectores propios asociados a la matriz de los coeficientes.
Se considera entonces una ecuación de la forma
{{Eqn|<math>ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0</math>,|3.1a}}
bajo la condicón
{{Eqn|<math>a>0,</math> y <math>b\neq 0</math>.|3.1b}}
Los vectores propios por analizar están asociados a la matríz de los coeficientes
{{Eqn|<math>M=\left[\begin{array}{cc}a &\frac{b}{2} \\ \frac{b}{2} &c\end{array}\right]</math>|3.2a}}
la cual es simétrica; en consecuencia sus valores propios son reales y los respectivos vectores propios son ortogonales. Su determinante
{{Eqn|<math>detM=\frac{1}{4}(4ac-b^2)</math>,|3.2b}}
y al número <math>b^2-4ac</math> se le denomina ''discriminante'' de la matriz M.
====Valores y Vectores Propios====
Los valores propios se pueden obtener de la correspondiente ecuación característica, la cual es
{{Eqn|<math>4\lambda ^2-4(a-c)\lambda -(b^2-4ac)=0</math>,|3.3}}
y de esta surge la relación
{{Eqn|<math>4(\lambda -a)^2=4(c-a)\lambda +4a^2+b^2-4ac</math>.|3.4}}
Sus raíces dan los dos valores propios (reales puesto que M es simétrica):
{{Eqn|<math>\lambda _{1,2}=\frac{1}{2}\left[(a+c)\pm \sqrt{(a-c)^2+b^2}\right]</math>,}}
o bien, en términos de la traza y el determinante
{{Eqn|<math>\lambda _{1,2}=\frac{1}{2}\left[(a+c)\pm \sqrt{tr^2M-4detM}\right]</math>.}}
De esta expresión junto con la condición {{Eqnref|3.1b}} se concluye:
{{res|'''NOTA 1''' los valores propios <math>\lambda _1, \; \; \lambda _2</math> jamás son iguales porque <math>b^2>0</math>.}}
Sea <math>\lambda _1</math> el menor valor propio; este es
{{Eqn|<math>\lambda _1=\frac{1}{2}\left[(a+c)-\sqrt{(a-c)^2+b^2}\right]</math>.|3.5a}}
del cual resulta
{{Eqn|<math>2(\lambda _2-a)=-\left[(a-c)+\sqrt{(a-c)^2+b^2}\right]</math>.|3.5b}}
Ahora, teniendo en cuenta que <math>b\neq 0</math>, para todo real N
{{Eqn|<math>N^2<N^2+b^2</math>,}}
de lo cual:
{{res|'''NOTA 2''' <math>(a-c)+\sqrt{(a+c)^2+b^2}>0</math>, con lo cual <math>2(\lambda _1-a)<0</math>. También <math>\lambda _1<a</math>.}}
Ahora, de la relación con la traza de la matriz M, se tiene
{{Eqn|<math>2(\lambda _2-c)=-2(\lambda _1-a)</math>,}}
de donde <math>\lambda _2>c</math>.
=====Vector propio asociado al menor valor propio <math>\lambda _1</math>=====
De la relación {{Eqnref|2.6}} los vectores propios X de la matriz M satisfacen
{{Eqn|<math>(M-\lambda I)X=O</math>,}}
y con <math>X^t=[x,y]</math>, en función de las componentes
{{Eqn|<math>\left[\begin{array}{cc}a-\lambda &\frac{b}{2} \\ \frac{b}{2} &c-\lambda \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x \\y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0 \\ 0\end{array}\right]</math>}}
que da lugar a un sistema de ecuación equivalentes entre sí, de tal manera que resulta
{{Eqn|<math>y=\frac{2}{b}(\lambda -a)x</math> con <math>b\neq 0</math>,}}
para cualquier valor propio <math>\lambda</math>.
Entonces al considerar el valor propio <math>\lambda _1</math>
{{Eqn|<math>by=2(\lambda _1-a)x</math>,}}
obteniendo cada vector propio asociado a <math>\lambda _1</math>
{{Eqn|<math>\left[\begin{array}{c}x \\y\end{array}\right]=\frac{1}{b}\left[\begin{array}{c}bx \\by\end{array}\right]=\frac{x}{b}\left[\begin{array}{c}b \\2(\lambda _1 -a)\end{array}\right]</math>, para todo <math>\frac{x}{b}\neq 0</math>.}}
Tomando en particular el vector propio <math>v _1</math>
{{Eqn|<math>v_1=\left[\begin{array}{c}b \\2(\lambda _1-a)\end{array}\right]</math>,|3.6}}
el cual por la NOTA 2, tiene segunda componente '''negativa.'''
=====Vector propio asociado a <math>\lambda _2</math>=====
Puesto que el segundo valor propio <math>\lambda _2</math> es distinto de <math>\lambda _1</math> (NOTA 1), entonces siendo M una matriz simétria el vector propio <math>v_2</math> asociado a <math>\lambda _2</math> es ortogonal a <math>v_1</math>.Así, se propone rotar <math>90^o</math> en el sentido antihorario el vector <math>v_1</math> quedando
{{Eqn|<math>v_2=\left[\begin{array}{c}-2(\lambda _1-a) \\b\end{array}\right]</math>,|3.7}}
y por la NOTA 2, la primera componente es '''positiva'''. También <math>\|v_1\|=\|v_2\|</math>.
Siendo el propósito describir la rotación de la cónica, el ángulo correspondiente oscilará en el intervalo <math>\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right)</math>, se elige el par de vectores propios siguiente:
{{Eqn|<math>\begin{cases}v_1,\; \; v_2 &\text{cuando } b>0 \text{ (rotacion negativa)}, \\ -v_1,\; \; -v_2 &\text{cuando } b<0 \text{ (rotacion positiva)},\end{cases}</math>|3.8}}
Obsérvese que, de acuerdo a los signos de las componentes ya analizados, en el primer caso <math>v_1</math> está en el cuarto cuadrante del plano cartesiando, <math>v_2</math> está en el primer cuadrante y, en el segundo caso, los vectores están en el primero y segundo cuadrante respectivamente.
=====Ángulo de rotación=====
Dados los vectores <math>\vec{A},\; \; \vec{B}</math> su producto punto satisface
{{Eqn|<math>\vec{A}\cdot \vec{B}=\|\vec{A}\|\|\vec{B}\|\cos \theta</math>}}
siendo <math>\theta \in [0,\pi ]</math> el ángulo formado por ellos. Entonces si <math>\vec{A}=\langle 1,0\rangle</math> (en la dirección positiva del eje X), al tomar <math>\vec{B}=v_1</math> y al reemplazar
{{Eqn|<math>b=\|v_1\|\cos \theta</math>,}}
el ángulo de rotación <math>\phi \in \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right)</math> queda definido por
{{Eqn|<math>\begin{cases}\phi=-\arccos \left(\frac{b}{\|v_1\|}\right), &b>0 \\\phi=\pi -\arccos \left(\frac{b}{\|v_1\|}\right), &b<0\end{cases}</math>|3.9}}
Entonces, en el primer caso se presenta una rotación negativa y en el segundo, cuanbo <math>b<0</math>, la rotación es positiva.
====Cambio de Coordenadas====
Antes de proceder a realizar un cambio de coordenadas, se revisan las opciones de signos de los valores propios.
=====Sobre los signos de los valores propios de la matria M=====
Se plantea la pregunta:
<center>¿Es posible que <math>\lambda _1<0,\; \; \lambda _2 <0</math>?</center>
Supóngase que ambos valores propios son negativas; en tal caso <math>trM<0</math>, es decir que <math>a+c<0</math> y siendo <math>a>0</math> entonces <math>c<0</math>. Con lo cual el determinante sería
{{Eqn|<math>detM=ac-\frac{b^2}{4}<0</math>,}}
{{res|'''NOTA 3''' Sólo el valor propio <math>\lambda _1</math> puede ser negativo.}}
Ahora, ¿es posible que el valor propio <math>\lambda _2</math> sea nulo? En tal caso, el determinante <math>detM=0</math> muestra que <math>ac=\tfrac{b^2}{4}</math> y, del hecho
{{Eqn|<math>\lambda _2=\frac{1}{2}\left[(a+c)+\sqrt{(a-c)^2+b^2}\right]</math>}}
se tendría <math>a+c<0</math>, de lo cual <math>a<0</math>, contradiciendo la condición {{Eqnref|3.1b}}. Así, se tiene
{{res|'''NOTA 4''' El mayor valor propio <math>\lambda _2</math> nunca se anula.}}
De la relación de los valores propios con la traza se puede decir:
{{res|'''NOTA 5''' Si <math>trM<0</math> y el valor propio <math>\lambda _1<0</math>, entonces <math>0<\lambda _2<-\lambda _1</math>.}}
Teniendo en cuenta que el valor propio <math>\lambda _1</math> es el más pequeño se tiene:
{{res|'''NOTA 6''' Si <math>\lambda _1>0</math>, entonces <math>trM>0</math> y <math>detM>0</math>.}}
=====Matriz de rotación P=====
La determinación de los vectores propios <math>v_1,\; \; v_2</math> permite replantear la ecuación cartesiana {{Eqnref|3.1a}} en función de otras variables, con el fin de facilitar la identificación de la cónica que está describiendo. Así, se proponen las variables <math>u,\; v</math> y se define la transformación
{{Eqn|<math>\left[\begin{array}{c}x \\y\end{array}\right]=P\left[\begin{array}{c}u\\v\end{array}\right]</math>|3.10a}}
siendo P la matriz de orden 2, formada por los vectores propios normalizados
{{Eqn|<math>P=\left[\begin{array}{lr}\frac{1}{\|v_1\|}v_1 &\frac{1}{\|v_2\|}v_2\end{array}\right]</math>,}}
y por {{Eqnref|3.6}} y {{Eqnref|3.8}} se tiene <math>\|v_1\|=\|v_2\|</math>, con lo cual
{{Eqn|<math>P=\frac{1}{\|v_1\|}\left[\begin{array}{lr}v_1 &v_2\end{array}\right]</math>.}}
{{res|Matriz de rotación negativa}}
para el caso <math>b>0</math>,
{{Eqn|<math>P_1=\frac{1}{\|v_1\|\left[\begin{array}{lr}v_1 &v_2\end{array}\right]}</math>.|3.10b}}
teniendo presente {{Eqnref|3.6}} y {{Eqnref|3.7}}.
{{res|Matriz de rotación positiva}}
Para el caso <math>b<0</math>, según {{Eqnref|3.8}}
{{Eqn|<math>P_2=-\frac{1}{\|v_1\|}\left[\begin{array}{lr}v_1 &v_2\end{array}\right]</math>.|3.10c}}
En ambos casos se tiene en cuenta el resultado <math>P^tMP=\left[\begin{array}{cc}\lambda _1 &0 \\0 &\lambda _2\end{array}\right]</math> (ver teoría), y al realizar la sustitución
{{Eqn|<math>\left[\begin{array}{c}x \\y\end{array}\right]=P\left[\begin{array}{c}u \\v\end{array}\right]</math>}}
en la ecuación de segundo grado dada al comienzo, escrita en la forma
{{Eqn|<math>\left[\begin{array}{lr}x &y\end{array}\right]M\left[\begin{array}{c}x \\y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x \\y\end{array}\right]+f=0</math>}}
se simplifica inicialmente en
{{Eqn|<math>\left[\begin{array}{lr}u &v\end{array}\right]\left[\begin{array}{lr}\lambda _1 &0 \\0 &\lambda _2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}u \\v\end{array}\right]+\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]P\left[\begin{array}{c}u \\v\end{array}\right]+f=0</math>,}}
y al desarrollar el primer producto
{{Eqn|<math>\lambda _1u^2+\lambda _2v^2+\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]P\left[\begin{array}{c}u \\v\end{array}\right]+f=0</math>|3.11}}
Está por resolver el producto <math>\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]P\left[\begin{array}{c}u \\v\end{array}\right]</math> que contiene las coordenadas del centro de la cónica; se anulan cuando los coeficientes d y e son cero. Obsérvese que esta ecuación carece del término uv, indicando que la cónica correspondiente está en su forma normal.
=====Caso <math>b>0</math> (rotación negativa)=====
{{Eqn|<math>\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]P_1\left[\begin{array}{c}u \\v\end{array}\right]=\frac{1}{\|v_1\|}\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]\left[\begin{array}{lr}v_1 &v_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}u \\v\end{array}\right]</math>,}}
obteniendo
{{Eqn|<math>\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]P_1\left[\begin{array}{c}u \\v\end{array}\right]=\frac{1}{\|v_1\|}\left\{\left(\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1\right)u+\left(\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_2\right)v\right\}</math>|3.12}}
y al reemplazarlo en la ecuación {{Eqnref|3.11}}
{{Eqcn|<math>\lambda _1u^2+\frac{\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1}{\|v_1\|}u+\lambda _2v^2+\frac{\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_2}{\|v_1\|}v+f=0</math>|3.13}}
Se procede a completar cuadrados:
{{res|CASO 1 <math>detM\neq 0</math>.}}
Siendo cada valor propio distindo de 0, la expresión {{Eqnref|3.13}} queda
{{Eqn|<math>\lambda _1\left(u+\frac{\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1}{2\lambda _2\|v_1\|}\right)^2+\lambda _2\left(v+\frac{\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1}{2\lambda _2\|v_2\|}\right)^2=T_1-f</math>|3.14a}}
donde
{{Eqn|<math>T_1=\frac{1}{4\|v_1\|^2}\left[\frac{\left(\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1\right)^2}{\lambda _1}+\frac{\left(\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]\right)^2}{\lambda 2}\right]</math>.|3.14b}}
Entonces, la ecuación {{Eqnref|3.14a}} representa:
{{Eqn|<math>\begin{cases}\text{Una elipse,} &si\; \; \lambda _1>0 \; \; y\; \; T_1>f, \\ \text{Una hipérbola,} &si\; \; \lambda _1<0 \; \; y\; \; T_1\neq f, \\ \text{Dos rectas coincidentes,} &si\; \; \lambda _1<0\; \; y\; \; T_1=f,\\ \text{Un punto,} &si\; \; \lambda _1>0\; \; y\; \; T_1=f,\\ \text{Ningún punto,} &si\; \; \lambda _1 >0\; \; y\; \; T_1<f.\end{cases}</math>}}
En los dos primeros casos, los centros están en
{{Eqn|<math>(h,k)=\left(\frac{-\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1}{2\lambda _1\|v_1\|},\frac{-\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1}{2\lambda _2\|v_1\|}\right)</math>.|3.14c}}
Las rectas coincidentes tienen ecuaciones
{{Eqn|<math>v+\frac{\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_2}{2\lambda _2\|v_1\|}=\pm \sqrt{\frac{-\lambda _1}{\lambda _2}}\left(u+\frac{\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1}{2\lambda _1\|v_1\|}\right)</math>|3.15}}
{{res|CASO 2 <math>detM=0</math>.}}
Por la NOTA 4, se presenta como única opción: <math>\lambda _1=0\; \; (\lambda _2>0)</math>. Así, de la ecuación {{Eqnref|3.13}} queda
{{Eqn|<math>\frac{\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1}{\|v_1\|}u+\lambda _2\left(v+\frac{\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_2}{2\lambda _2\|v_1\|}\right)^2=T_2-f</math>|3.16a}}
con
{{Eqn|<math>T_2=\frac{\left(\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_2\right)^2}{4\lambda _2\|v_1\|^2}</math>,|3.16b}}
que representa
{{Eqcn|Una parábola, si <math>\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1\neq 0</math>,}}
con eje de simetría paralelo al eje y y vértice en el punto
{{Eqn|<math>\left(\frac{\|v_1\|}{\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1}(T_2-f),\frac{-\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_2}{2\lambda _2\|v_1\|}\right)</math>,|3.16c}}
Puede tenerse también
{{Eqcn|Dos rectas paralelas, si <math>\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1=0\; \; y\; \; T_2-f>0</math>,}}
con ecuaciones
{{Eqn|<math>v=\frac{-\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_2}{2\lambda _2\|v_1\|}\pm \sqrt{\frac{1}{\lambda _2}(T_2-f)}</math>.|3.16d}}
La ecuación {{Eqnref|3.16a}} puede representar
{{Eqcn|Una recta, si <math>\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1=0\; \; y\; \; T_2-f=0</math>,}}
Por último, puede representar
{{Eqcn|Ningún punto, si <math>\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1=0\; \; y\; \; T_2-f<0</math>.}}
=====Caso b<0 (rotación positiva)=====
Ya que la matriz a considerar <math>P_2</math> difiere de la anterior <math>P_1</math> en el signo, los desarrollos y resultados presentados en la sección anterior son similares. De esta manera
{{Eqn|<math>\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]P_2\left[\begin{array}{c}u \\v\end{array}\right]=\frac{-1}{\|v_1\|}\left\{\left(\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1\right)u+\left(\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_2\right)v\right\}</math>|3.17}}
al reemplazarlo en {{Eqnref|3.11}} produce una ecuación ligeramente dintinta de {{Eqnref|3.12}}:
{{Eqcn|<math>\lambda _1u^2-\frac{\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1}{\|v_1\|}u+\lambda _2v^2-\frac{\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_2}{\|v_1\|}v+f=0</math>|3.18}}
lo cual indica que se obtienen los resultados de la sección 3.2.3, con una diferencia:
<center>''las coordenadas del centro en el caso de la elipse y de la hipérbola, así como en el vértice para el caso de la parábola son los opuestos aditivos.''</center>
{{res|CASO 1 <math>detM\neq 0</math>.}}
Siendo cada valor propio distinto de 0, la expresión {{Eqnref|3.18}} queda
{{Eqn|<math>\lambda_1\left(u-\frac{\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1}{2\lambda _1\|v_1\|}\right)^2+\lambda _2\left(v-\frac{\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_2}{2\lambda _2\|v_1\|}\right)^2=T_1-f</math>|3.19a}}
donde
{{Eqn|<math>T_1=\frac{1}{4\|v_1\|^2}\left[\frac{\left(\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1\right)^2}{\lambda _1}+\frac{\left(\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_2\right)^2}{\lambda _2}\right]</math>,|3.19b}}
tal como el de {{Eqnref|3.14b}}
De esta manera, la ecuación {{Eqnref|3.19a}} representa:
{{Eqn|<math>\begin{cases}\text{Una elipse,} &si\; \; \lambda _1>0 \; \; y\; \; T_1>f, \\ \text{Una hipérbola,} &si\; \; \lambda _1<0 \; \; y\; \; T_1\neq f, \\ \text{Dos rectas coincidentes,} &si\; \; \lambda _1<0\; \; y\; \; T_1=f,\\ \text{Un punto,} &si\; \; \lambda _1>0\; \; y\; \; T_1=f,\\ \text{Ningún punto,} &si\; \; \lambda _1 >0\; \; y\; \; T_1<f.\end{cases}</math>}}
En los dos primeros casos sus centros están en
{{Eqn|<math>(h,k)=\left(\frac{\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1}{2\lambda _1\|v_1\|},\frac{\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1}{2\lambda _2\|v_1\|}\right)</math>.|3.19c}}
Las rectas coincidentes tienen ecuaciones
{{Eqn|<math>v-\frac{\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_2}{2\lambda _2\|v_1\|}=\pm \sqrt{\frac{-\lambda _1}{\lambda _2}}\left(u-\frac{\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1}{2\lambda _1\|v_1\|}\right)</math>|3.20}}
El caso del punto, sus coordenadas están dadas por (h,k).
{{res|CASO 2 <math>detM=0</math>.}}
Nuevamente, como en el baso b>0, por la Nota 4, se tiene la única opción: <math>\lambda _1=0 \; (\lambda _2>0)</math>. De la ecuación {{Eqnref|3.18}} queda
{{Eqn|<math>\frac{-\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1}{\|v_1\|}u+\lambda _2 \left(v-\frac{\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_2}{2\lambda _2 \|v_1\|}\right)^2=T_2-f</math>|3.21a}}
con <math>T_2</math> dado por {{Eqnref|3.16b}}, la cual representa
{{Eqcn|Una parábola, si <math>\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1\neq 0</math>,}}
con eje de simetría paralelo al eje u y vértice en el punto
{{Eqn|<math>\left(\frac{-\|v_1\|}{\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1}(T_2-f),\frac{\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_2}{2\lambda _2\|v_1\|}\right)</math>,|3.21b}}
Puede tenerse también
{{Eqcn|Dos rectas paralelas, si <math>\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1=0\; \; y\; \; T_2-f>0</math>,}}
con ecuaciones
{{Eqn|<math>v=\frac{\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_2}{2\lambda _2\|v_1\|}\pm \sqrt{\frac{1}{\lambda _2}(T_2-f)}</math>.|3.21c}}
y tal como {{Eqnref|3.21a}} puede representar
{{Eqcn|Una recta, si <math>\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1=0\; \; y\; \; T_2-f=0</math>,}}
con ecuación
{{Eqn|<math>v=\frac{\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_2}{2\lambda _2 \|v_1\|}\pm \sqrt{\frac{1}{\lambda _2}(T_2-f)}</math>|3.21d}}
paralela al eje u. Por último, puede suceder que {{Eqnref|3.21a}} represente
{{Eqcn|Ningún punto, si <math>\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1=0\; \; y\; \; T_2-f<0</math>.}}
| 