Diferencia entre revisiones de «Geometría Analítica con Matlab»
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Línea 575:
Siendo cada valor propio distinto de 0, la expresión {{Eqnref|3.18}} queda
{{Eqn|<math>\lambda_1\left(u-\frac{\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1}{2\lambda _1\|v_1\|}\right)^2+\lambda _2\left(v-\frac{\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_2}{2\lambda _2\|v_1\|}\right)^2=T_1-f</math>|3.19a}}
donde
{{Eqn|<math>T_1=\frac{1}{4\|v_1\|^2}\left[\frac{\left(\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1\right)^2}{\lambda _1}+\frac{\left(\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_2\right)^2}{\lambda _2}\right]</math>,|3.19b}}
tal como el de {{Eqnref|3.14b}}
De esta manera, la ecuación {{Eqnref|3.19a}} representa:
{{Eqn|<math>\begin{cases}\text{Una elipse,} &si\; \; \lambda _1>0 \; \; y\; \; T_1>f, \\ \text{Una hipérbola,} &si\; \; \lambda _1<0 \; \; y\; \; T_1\neq f, \\ \text{Dos rectas coincidentes,} &si\; \; \lambda _1<0\; \; y\; \; T_1=f,\\ \text{Un punto,} &si\; \; \lambda _1>0\; \; y\; \; T_1=f,\\ \text{Ningún punto,} &si\; \; \lambda _1 >0\; \; y\; \; T_1<f.\end{cases}</math>}}
En los dos primeros casos sus centros están en
{{Eqn|<math>(h,k)=\left(\frac{\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1}{2\lambda _1\|v_1\|},\frac{\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1}{2\lambda _2\|v_1\|}\right)</math>.|3.19c}}
Las rectas coincidentes tienen ecuaciones
{{Eqn|<math>v-\frac{\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_2}{2\lambda _2\|v_1\|}=\pm \sqrt{\frac{-\lambda _1}{\lambda _2}}\left(u-\frac{\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1}{2\lambda _1\|v_1\|}\right)</math>|3.20}}
El caso del punto, sus coordenadas están dadas por (h,k).
{{res|CASO 2 <math>detM=0</math>.}}
Nuevamente, como en el baso b>0, por la Nota 4, se tiene la única opción: <math>\lambda _1=0 \; (\lambda _2>0)</math>. De la ecuación {{Eqnref|3.18}} queda
{{Eqn|<math>\frac{-\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1}{\|v_1\|}u+\lambda _2 \left(v-\frac{\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_2}{2\lambda _2 \|v_1\|}\right)^2=T_2-f</math>|3.21a}}
con <math>T_2</math> dado por {{Eqnref|3.16b}}, la cual representa
{{Eqcn|Una parábola, si <math>\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1\neq 0</math>,}}
con eje de simetría paralelo al eje u y vértice en el punto
{{Eqn|<math>\left(\frac{-\|v_1\|}{\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1}(T_2-f),\frac{\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_2}{2\lambda _2\|v_1\|}\right)</math>,|3.21b}}
Puede tenerse también
{{Eqcn|Dos rectas paralelas, si <math>\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1=0\; \; y\; \; T_2-f>0</math>,}}
con ecuaciones
{{Eqn|<math>v=\frac{\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_2}{2\lambda _2\|v_1\|}\pm \sqrt{\frac{1}{\lambda _2}(T_2-f)}</math>.|3.21c}}
y tal como {{Eqnref|3.21a}} puede representar
{{Eqcn|Una recta, si <math>\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1=0\; \; y\; \; T_2-f=0</math>,}}
con ecuación
{{Eqn|<math>v=\frac{\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_2}{2\lambda _2 \|v_1\|}\pm \sqrt{\frac{1}{\lambda _2}(T_2-f)}</math>|3.21d}}
paralela al eje u. Por último, puede suceder que {{Eqnref|3.21a}} represente
{{Eqcn|Ningún punto, si <math>\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1=0\; \; y\; \; T_2-f<0</math>.}}
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