Diferencia entre revisiones de «Geometría Analítica con Matlab»
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Línea 531:
Está por resolver el producto <math>\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]P\left[\begin{array}{c}u \\v\end{array}\right]</math> que contiene las coordenadas del centro de la cónica; se anulan cuando los coeficientes d y e son cero. Obsérvese que esta ecuación carece del término uv, indicando que la cónica correspondiente está en su forma normal.
=====Caso <math>b>0</math> (rotación negativa)=====
{{Eqn|<math>\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]P_1\left[\begin{array}{c}u \\v\end{array}\right]=\frac{1}{\|v_1\|}\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]\left[\begin{array}{lr}v_1 &v_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}u \\v\end{array}\right]</math>,}}
obteniendo
{{Eqn|<math>\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]P_1\left[\begin{array}{c}u \\v\end{array}\right]=\frac{1}{\|v_1\|}\left\{\left(\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1\right)u+\left(\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_2\right)v\right\}</math>|3.12}}
y al reemplazarlo en la ecuación {{Eqnref|3.11}}
{{Eqcn|<math>\lambda _1u^2+\frac{\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1}{\|v_1\|}u+\lambda _2v^2+\frac{\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_2}{\|v_1\|}v+f=0</math>|3.13}}
Se procede a completar cuadrados:
{{res|CASO 1 <math>detM\neq 0</math>.}}
Siendo cada valor propio distindo de 0, la expresión {{Eqnref|3.13}} queda
{{Eqn|<math>\lambda _1\left(u+\frac{\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1}{2\lambda _2\|v_1\|}\right)^2+\lambda _2\left(v+\frac{\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1}{2\lambda _2\|v_2\|}\right)^2=T_1-f</math>|3.14a}}
donde
{{Eqn|<math>T_1=\frac{1}{4\|v_1\|^2}\left[\frac{\left(\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1\right)^2}{\lambda _1}+\frac{\left(\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]\right)^2}{\lambda 2}\right]</math>.|3.14b}}
Entonces, la ecuación {{Eqnref|3.14a}} representa:
{{Eqn|<math>\begin{cases}\text{Una elipse,} &si\; \; \lambda _1>0 \; \; y\; \; T_1>f, \\ \text{Una hipérbola,} &si\; \; \lambda _1<0 \; \; y\; \; T_1\neq f, \\ \text{Dos rectas coincidentes,} &si\; \; \lambda _1<0\; \; y\; \; T_1=f,\\ \text{Un punto,} &si\; \; \lambda _1>0\; \; y\; \; T_1=f,\\ \text{Ningún punto,} &si\; \; \lambda _1 >0\; \; y\; \; T_1<f.\end{cases}</math>}}
En los dos primeros casos, los centros están en
{{Eqn|<math>(h,k)=\left(\frac{-\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1}{2\lambda _1\|v_1\|},\frac{-\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1}{2\lambda _2\|v_1\|}\right)</math>.|3.14c}}
Las rectas coincidentes tienen ecuaciones
{{Eqn|<math>v+\frac{\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_2}{2\lambda _2\|v_1\|}=\pm \sqrt{\frac{-\lambda _1}{\lambda _2}}\left(u+\frac{\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1}{2\lambda _1\|v_1\|}\right)</math>|3.15}}
{{res|CASO 2 <math>detM=0</math>.}}
Por la NOTA 4, se presenta como única opción: <math>\lambda _1=0\; \; (\lambda _2>0)</math>. Así, de la ecuación {{Eqnref|3.13}} queda
{{Eqn|<math>\frac{\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1}{\|v_1\|}u+\lambda _2\left(v+\frac{\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_2}{2\lambda _2\|v_1\|}\right)^2=T_2-f</math>|3.16a}}
con
{{Eqn|<math>T_2=\frac{\left(\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_2\right)^2}{4\lambda _2\|v_1\|^2}</math>,|3.16b}}
que representa
{{Eqcn|Una parábola, si <math>\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1\neq 0</math>,}}
con eje de simetría paralelo al eje y y vértice en el punto
{{Eqn|<math>\left(\frac{\|v_1\|}{\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1}(T_2-f),\frac{-\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_2}{2\lambda _2\|v_1\|}\right)</math>,|3.16c}}
Puede tenerse también
{{Eqcn|Dos rectas paralelas, si <math>\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1=0\; \; y\; \; T_2-f>0</math>,}}
con ecuaciones
{{Eqn|<math>v=\frac{-\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_2}{2\lambda _2\|v_1\|}\pm \sqrt{\frac{1}{\lambda _2}(T_2-f)}</math>.|3.16d}}
La ecuación {{Eqnref|3.16a}} puede representar
{{Eqcn|Una recta, si <math>\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1=0\; \; y\; \; T_2-f=0</math>,}}
Por último, puede representar
{{Eqcn|Ningún punto, si <math>\left[\begin{array}{lr}d &e\end{array}\right]v_1=0\; \; y\; \; T_2-f<0</math>.}}
=====Caso b<0 (rotación positiva)=====
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